2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三（上）开学数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三（上）开学数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 若为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若记图三角形的面积为，则第个图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足为锐角的概率是( )
A. B. C. D.
6. 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若命题：，，命题：，，则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
8. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. ( )
A. B. C. D.
10. 在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11. 已知函数若对任意，存在，使成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 对于函数，若存在非零实数，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若时，函数的图象上恰有对“隐对称点”，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，满足约束条件，则的最大值为 ．
14. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为______．
15. 如图，正方体的棱长为，是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______ ．
16. 已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；
统计今年以来元月月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：
月份 元月 月 月 月 月
销售量万辆
预测该品牌汽车在今年月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
18. 本小题分
如图，梯形中，，为中点，且，，将沿翻折到，使得连接，．
求证：；
为线段上一点，若，求三棱锥的体积．
19. 本小题分
在数列中，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点．
求椭圆的标准方程；
为椭圆在第一象限内部分上的一点，过点作圆：的两条切线，分别交轴与，两点，且，求点的坐标．
21. 本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若当时，，求的取值范围．
若存在实数、，使得恒成立，求的最小值．
22. 本小题分
直角坐标系中，点，动圆：．
求动圆圆心的轨迹；
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率．
23. 本小题分
已知函数，．
求函数的最小值；
设，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，其虚部为．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念即可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
，
解得，
，
故选：．
根据求得，再利用向量的模公式求解．
本题考查向量的坐标运算，方程思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，设图阴影面积为，设图的阴影面积为，则，
则图阴影为图面积的，，
图阴影为图面积的，，
图阴影为图面积的，，
第个图中阴影部分的面积为，
故选：．
依题意，设图阴影面积为，设图的阴影面积为，则，即可归纳可得．
本题考查了归纳推理，考查推理能力和计算能力，属简单题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，矩形中，设，则，的中点为，
则矩形的面积，
以为圆心，半径为，在矩形内部作半圆，
现向矩形内随机投掷质点，若为锐角，符合条件为矩形中，半圆之外的部分，
如图的阴影部分，
则为锐角的概率；
故选：．
根据题意，矩形中，设，的中点为，求出矩形的面积，分析符合条件的的图形以及面积，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：模拟程序的运行过程，如下：
，，满足条件；
，，满足条件；
，，满足条件；
，，满足条件；
，，不满足条件；
退出循环，输出，
判断框中应填入的判断条件．
故选：．
模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件．
本题考查了程序框图应用问题，也考查了运算求解能力与数学思维核心素养，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：当，恒成立，即命题是真命题，
，则，不成立，即命题是假命题，
则是真命题，其他都是假命题，
故选：．
根据特称命题和全称命题分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题，的真假是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
由知点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆．又点总在椭圆内部，，由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．
【解答】
解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，，
，
点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆．
又点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即，．
，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如下图所示，
将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，
故选：．
将四面体放在长方体中，使得四面体各条棱作为长方体的面对角线，并计算出长方体的体对角线长，作为外接球的直径，再利用球体表面积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于将四面体放在长方体内，利用长方体的外接球来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
11.【答案】
【解析】解：对任意，存在，使成立，
，
，
又，，
，
在上成立，
，
，，
存在，，
令，则，
，
．
故选：．
将恒成立及存在问题转化为最值间关系，先根据三角函数值域求，再根据一元二次函数的性质，即可求解．
本题考查恒成立及存在问题，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
的图象恒过点，的图象也过点，
因为，所以在处的切线方程为，
由图可知当或时，与的图象有 个交点，
即有两个根，
所以实数的取值范围为．
故选：．
由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案．
本题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题．
13.【答案】
【解析】解：作出可行域如下，
由可得，
当直线过点时，最小，则最大，
此时．
故答案为：．
根据约束条件画出可行域，结合的几何意义，利用数形结合的方法即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
由余弦定理得，
整理得，
解得舍负，
所以的面积．
故答案为：．
由已知结合余弦定理先求出，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，取中点，连接，，
在正方体中，因为是的中点，为中点，
所以，，
又在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
故梯形即为平面截正方体所得的截面，
由已知，，，
，，
则截面周长为，
故答案为：．
过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可．
本题考查截面面积的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
如图，设，可得直线的斜率分别为，
因为点在双曲线上，则，整理得，
所以，
设点，可得直线，的斜率，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
可得，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
令，则，
因为，，
则
，
解得，
所以双曲线的离心率．
故答案为：．
由双曲线与椭圆的性质可得垂直轴，然后结合两角和的正切公式及椭圆离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线与椭圆的性质，重点考查了两角和的正切公式，属中档题．
17.【答案】解：直方图的组距为，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，
平均数的估计值为：万元；
记，，，，，，
由散点图可知，组样本数据呈线性相关关系．
，，，
，
，，
回归直线方程是．
当时，，
预计该品牌汽车在今天月份的销售量约为万辆．
【解析】求出各组数据的频率，再由每一个矩形中点的横坐标乘以频率再作和得答案；
由已知数据求得与的值，即可求得关于的线性回归方程，取求解值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】证明：因为，所以，且，
又，且，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
因为在梯形中，，所以，
所以在四棱锥中，，
又，所以为正三角形，
取中点，连接，，，
可得，，
因为平面平面，平面平面，
平面，且，可得平面，
又平面，所以，
又，，，
所以四边形为正方形，所以，又，
且，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
解：由题意得，点为线段上一点，
且，即，
所以，
又由知平面，
所以为三棱锥的高，
由为正三角形，且，可得，
所以．
【解析】根据题意，证得平面，从而得到平面平面，取中点，连接，，，证得平面，从而证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得．
由，得到，结合棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，线面垂直的判定定理与性质，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：由，
取，得，
当时，有，
两式作差可得：，
，
验证适合上式，
；
，
，
，
，
解得：．
【解析】由已知数列递推式利用作差法求的通项公式；
把中求得通项公式代入，再由错位相减法求数列的前项和．
本题考查数列递推式，考查作差法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前项和，是中档题．
20.【答案】解：由题知，
解得，，
故椭圆的方程为．
设点，，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为，即，
即，
即，
同理．
由此可知，，为方程的两个实根，
所以，．
．
因为点在椭圆上，
则，则，
则，
则，
因为，
则，，即，
故存在点满足题设条件．
【解析】根据已知条件求得，，从而求得椭圆的标准方程．
设出，，的坐标，根据切线，求得，由求得点的坐标．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查分运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：已知，函数，
可得，
若，则恒成立，
所以的增区间为，无减区间；
若，
当时，；当时，，
所以函数的减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为；
若当时，，
即，
当时，显然成立；
当时，，
可得，
不妨设，
可得，
所以函数在上单调递减，
此时，
解得；
当时，，
可得，
不妨设，
令，
解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得最小值，
此时，
解得，
综上，的取值范围是；
若存在实数、，使得恒成立，
当时，对任意的，
此时，
所以对任意的实数，不可能恒成立；
当时，，
要使恒成立，
只需，
所以，
当时，
易知，
因为函数、在上均为增函数，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为恒成立，
所以，
则，
又，
所以，
代入不等式可得，
整理得，
不妨设，
可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，
即，当，时取等号，
综上所述，的最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论、着两种情况，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
由已知得，在时显然成立，在、两种情况下，结合参变量分离法可求得实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围；
分析可知当时，不可能恒成立；当时，可得出；当时，利用导数分析函数的单调性，可知存在，使得，结合极值点的定义可得出，利用导数求出函数的最小值，综合可得出的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：设圆心，
，
，，
圆心的轨迹方程为，即圆心的轨迹为线段；
，即，
将代入得，即曲线的直角坐标方程为，
设直线的倾斜角为，
由点在直线上，则直线的参数方程为为参数，
代入曲线的方程得，
设，，
点在曲线的内部，
，化简得，解得，
又，则，或，
，即直线的斜率为．
【解析】设圆心，根据，即可得出答案；
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线的倾斜角为，得直线的参数方程为为参数，代入曲线的直角坐标方程，设，，可得，根据韦达定理可求的值，结合，即可得出答案．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：由题设，
而在，，上均能取到最小值，
在上递减，在上为常数，在上递增，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为；
由，仅当取等号，
要证，即证，即，
需证，而，，即，，
所以恒成立，故得证．
【解析】写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；
利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即可．
本题考查函数和不等式的综合应用，熟练掌握函数最值的求法、不等式的证明方法及反证法的应用是解题关键．
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