2023-2024学年广西河池市大化高级中学高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西河池市大化高级中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
3. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 为上的奇函数，且，时，，则的值( )
A. B. C. D.
7. 若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，，设，，则以下四个命题中正确的是( )
A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值
C. 若，则 D. 若，则有最小值
10. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称，且，若当时，，则下列结论正确的是( )
A. 为偶函数 B. 在上单调递减
C. 关于对称 D.
11. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A. B. 且
C. D. 不等式的解集是
12. 设函数，对于任意的，，下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______
14. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是______________．
15. 已知二次函数，不等式的解集的区间长度为规定：闭区间的长度为，则实数的值是______．
16. 函数的零点有两个，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求的图象在点处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
18. 本小题分
已知双曲线：的左，右焦点分别为，，且，都在圆上，连接双曲线的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为．
求双曲线的标准方程；
设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积．
19. 本小题分
已知公差为的等差数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，证明：．
20. 本小题分
甲、乙两人参加一次英语口语测试．已知在备选的道题中，甲能答对其中的道题，乙能答对其中的道题．规定每位考生都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题才算合格．求：
甲考试合格的概率；
乙答对试题数的分布列；
乙考试合格的概率．
21. 本小题分
已知函数．
若，求的增区间；
若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；
若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
22. 本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点．
证明：平面；
线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题．
先求出，然后再求即可求解．
【解答】
解：，，，
，
则，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，，
则，则．
故选：．
根据分段函数的解析式求值即可．
本题考查分段函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：命题“，使得成立”是假命题，
则”，使得成立”是真命题，
故，
，当且仅当时，等号成立，
故实数的取值范围是．
故选：．
将原条件转化为”，使得成立”是真命题，再结合分离常数法，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查存在量词和存在命题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为在中，角与角都大于小于度，而余弦函数在区间度到度上是减函数，则可直接推出所以，“”是“”的充分条件．
同理由余弦函数在度到度上是减函数，则可直接推出．
所以，“”也是“”的必要条件．
故选C．
首先要判断“”是“”的什么条件，就必须捕捉到角，在中则角，都大于小于度，再根据余弦函数在度到度上的单调性即可判断得到答案．
此题主要考查对充分条件与必要条件的判断以及三角函数在一定区间内的单调性问题．学生做题时候要充分分析到每一个条件，以免忽略到一些隐含的问题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查对数的运算性质，属于基础题．
运用对数的运算性质，可得，即，则，展开运用基本不等式即可求得最小值．
【解答】
解：由，，，
则，
即有，
即，
则
，
当且仅当时，取得等号，
则的最小值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，则，
，由于为上的奇函数，
且时，，
则．
故选：．
利用周期性，只需求，再利用奇偶性即可求值．
本题考查函数的周期性，奇偶性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：关于的不等式在上有实数解，
即不等式在上有实数解，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
即的取值范围是为，
故选：．
由题意可知不等式在上有实数解，再利用对勾函数的性质求出函数在上的最大值即可．
本题主要考查了不等式能成立问题，考查了对勾函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了通过变形利用基本不等式的性质的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，，，，，
对于，当时，，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为，故A正确；
对于，当时，，当且仅当时等号成立，
令，则，且，解得，即，解得，
所以，故B正确；
对于，当时，，当且仅当时等号成立，
所以，得，所以，故C正确；
对于，当时，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且函数图象关于直线对称，
则恒成立，
又，
所以，
故，即，
所以函数是偶函数，故选项A正确；
因为，
所以，即，
故函数是周期为的周期函数，
当时，，则在上单调递增，
所以在上单调递增，故选项B错误；
因为为偶函数且图象关于对称，
则有，，
所以，
则的图象关于直线对称，故选项C正确；
因为函数是周期为的偶函数，
则故选项D正确．
故选：．
利用函数图象的对称性以及，可得，即可判断选项A，利用，结合赋值法以及周期函数的定义，即可判断选项B，利用函数的周期性即可判断选项C，利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为，即可得到答案．
本题考查了抽象函数及其应用，主要考查了函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集是，
所以和是方程的解，且，故选项A正确；
由根与系数的关系知，
所以，，故选项B正确；
又，故选项C错误；
不等式可化为，
即，解得，
所以该不等式的解集是，故选项D错误．
故选：．
根据不等式的解集判断，用表示出和，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对各命题进行逐一进行判定即可．
本题考查指数函数的性质，指数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握函数的概念、图象和性质．
【解答】
解：，所以成立，
，所以不成立，
函数，在上是单调递增函数，
若则，则，
若则，则，故C正确
说明函数是凹函数，而函数是凹函数，故D正确
故选：．
13.【答案】
【解析】解：依题意，因为，当即时，，满足题意；
当即时，
因为，
所以或，
解得，
故答案为：
，分集合是否为空集进行讨论即可得到的范围．
本题考查了集合的关系，集合的运算，做题时要注意考虑集合是否为空集，本题属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：是定义在上的偶函数，
，，
又，
，
．
故答案为
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，．
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间个端点互为相反数．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，设即的解集为，
则和是方程即的两根，
则，，
若不等式的解集的区间长度为，即，
则有，
解可得：；
故答案为：．
根据题意，设即的解集为，分析可得和是方程即的两根，由二次函数根与系数的关系的分析可得，，又由，可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】或
【解析】解：由得，
设，
则为偶函数，则，
作出函数的图象如图：
由图象知当或时，与有两个不同的交点，
此时函数有两个不同的零点，
故答案为：或
根据函数与方程的关系，转化为，利用换元法，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合函数与方程的关系转化为两个图象交点问题，结合一元二次函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．难度不大．
17.【答案】解：由，得，
所以，，
所以的图象在点处的切线方程为．
函数的定义域为，，由得，
当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
从而函数在处有极小值，无极大值．
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的极值以及单调区间的求法，是中档题．
求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．
求出函数的定义域，导数，求解极值点，判断函数的单调性求解函数的单调区间以及函数的极值即可．
18.【答案】解：由双曲线方程知：焦点，，
，都在圆，，解得负值舍去，
连接双曲线的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为，
，得，
又，
联立，解得，或，，
，，舍去，则，，
故双曲线的标准方程为；
由知：，，
是圆的直径，得，
，
则，
．
【解析】根据焦点，都在圆上得出，再根据菱形的面积为和，，的关系可得，，进而求解；
根据题意得到，然后利用勾股定理得出，进而求解即可．
本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：因为等差数列的前项和为，且，
所以，
解得，
故，
即的通项公式为；
证明：因为，
所以
，
因为，
所以．
【解析】利用等差数列求和公式求出首项，从而求出通项公式；
裂项相消法求和证明不等式．
本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消求和，属于基础题．
20.【答案】解：甲考试合格的概率为，
的可能取值为，，，
，，
，
的分布列为：


乙考试合格的概率为：．
【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
根据组合数公式和古典概型的概率公式计算；
计算的各种取值对应的概率得出分布列；
根据分布列得出结论．
21.【答案】【解答】
解：的定义域是，
时，，
令，得，
函数的增区间是
，
由函数存在单调递减区间，知在上有解，
，即，
而，
，又，
．
时，，则即为，
令，则，
当时，，递减；当时，，递增．
，
又，，，
，即实数的取值范围是．
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查方程的根，考查函数与方程思想、数形结合思想，属中档题．
在定义域内解不等式即可；
由函数存在单调递减区间，知在上有解，分离参数化为函数最值即可；
化为，令，利用导数求得的最值，借助图象可得结果；
22.【答案】解：证明：连接，交于点，
四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，，平面，平面．
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，
设，则，，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，
平面的一个法向量，
由知：平面，平面的一个法向量为；
，解得，
当，即时，二面角的余弦值为．
【解析】利用正方形性质、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明即可；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用向量线性运算可得，根据二面角的向量求法可构造方程求得的值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
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