2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 函数为自然对数的底数在的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则( )
A. B. C. D.
6. 如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知实数，满足，，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
9. 某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为( )
A. B. C. D.
10. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则( )
A. B. C. D.
11. 已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、非选择题（共90分）
13. 已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为______ ．
14. 已知的展开式中的常数项为______ 用数字作答．
15. 已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是______
16. 已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______ ．
17. 某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有，，，四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为，，若为奇数即为中奖求某顾客甲获奖的概率；
求随机变量的分布列与数学期望．
18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
19. 如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点与在同一平面内满足，，．
求；
若的面积为，求线段的长．
20. 已知函数，且．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
21. 已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
求抛物线的标准方程；
若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点、与、不重合，求证：直线过定点．
22. 在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求射线和曲线的极坐标方程；
若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
23. 设函数．
当时，求不等式的解集；
若，，的最小值为，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为或，
又，
由交集的运算可知：．
故选：．
求出集合，，由交集的运算能求出结果．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
通过复数运算公式即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
利用两角差余弦公式的逆用即可得解．
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知的定义域为，，
则为偶函数，所以图象关于轴对称，
排除、，又，项符合．
故选：．
先判断函数的奇偶性，再根据的正负即可得选项．
本题考查函数的图象，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，可得，
解得，
为定值，
，
则，
．
故选：．
先根据等差数列的前项和公式及等差中项的性质计算出，再根据题干已知条件计算出的值，最后根据等差中项的性质即可计算出的值．
本题主要考查等差数列的基本运算．考查了方程思想，转化与化归思想，等差中项的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，易知，
到平面的距离等于到平面的距离，
三棱锥的体积为：
．
故选：．
先转化三棱锥的顶点，再根据三棱锥的体积公式，计算即可求解．
本题考查三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题得，可得，
因为焦距为，所以，解得，
所以椭圆的离心率为．
故选：．
利用焦点在轴上可求的范围，进而由，可求．
本题考查椭圆的性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，选项A：，，所以，A正确；
选项B：，所以，B正确；
选项C：取，，则，C错误：
选项D：，，，，即，D错误．
故选：．
根据已知结合单调性计算指数式，对数式及三角函数值，比较各个选项即可．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：先将四位同学先分为，或，两堆，共有种分堆方法，
再从种饮品中选出种，分配给两堆人，故共有种方法，
而四位同学到店每人购买一杯饮品，共有种方法，
所以恰有两种饮品没人购买的概率为．
故选：．
先分堆再分配，结合分步乘法计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，分析可得，
而，解得：．
故选：．
根据题意，分析可得，由此计算可得答案．
本题考查数列的应用，涉及数列的递推公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，，
二次函数在区间上单调递减，
，，且
故选：．
根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案．
本题主要考查点分布的期望和方差公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，此时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
作出的图象，如图所示，
，
即与共六个不等实根，
由图可知时，或，即有两个根，
若使与共六个不等实根，
只需满足，即．
故选：．
利用导数研究时的单调性，画出的大致图象，根据图象以及“个不同的实根”列不等式，由此求得的取值范围．
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得，
则向量在向量方向上的投影向量为．
故答案为：．
先由平面向量的数量积求，再由平面向量的投影向量的定义即可求得．
本题考查平面向量数量积和投影向量，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，知的展开式的通项公式为，，，，
当时，即时，为常数项，
此时．
故答案为：．
根据二项式定理可解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：当焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，
即，即，所以此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，，即，
所以此时双曲线的标准方程为，
综上，双曲线的标准方程为或．
故答案为：或．
由已知对焦点位置进行分类讨论，然后结合双曲线的性质可求．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：将三棱锥补成直三棱柱，设点，为上下底面的外心，点为直棱柱的外接球的球心，
则为的中点，点为的中点，为底面外接圆的半径，
设，则，
可得，，
故外接球半径，
当时，有最小值为，此时球的表面积为：．
故答案为：．
将三棱锥补成直三棱柱，根据题意结合二次函数的性质求出球半径的最小值，进而求解结论．
本题考查了球的表面积求解，以及二次函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：设事件：某顾客甲获奖，即为奇数，则，
所以某顾客甲获奖的概率为，
由题意，的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．
【解析】根据题意可解，
根据离散型随机变量的相关知识可解．
本题考查离散型随机变量的分布列及其数学期望，属于中档题．
18.【答案】证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
解：作于点，易知平面，
在中，，
则，．
如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
由知平面，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
，
取，得，
，，
由题可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直与线面垂直的性质定理及判定定理可得平面，进而证明结论．
作于点，可得平面，利用勾股定理、等积法可得，，如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出结论．
本题考查了空间线面位置关系、数量积运算性质、向量夹角公式、二面角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
由正弦定理得，
即
，
，
又，，
则，即，
，即，
，即，
，解得；
的面积，
，即，解得，
由余弦定理得，
，
平分，
由余弦定理得，
．
【解析】利用正弦定理得，即，即，则，即，求解即可得出答案；
利用面积公式可得，结合余弦定理可得，利用余弦定理，求解即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，则，
所以，
又，
则切线方程为，化简得；
由，可得在上恒成立，
令，则，
对于，，
故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上，，单调递减，在上，，单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
【解析】将代入函数解析式，求导，利用导数的几何意义即可得到切线方程；
问题等价于在上恒成立，令，对函数求导可得，，且，令，利用导数分析可得，进而得到答案．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
21.【答案】解：由题设，则，，
又，
故，整理得，
解得．
所以抛物线的标准方程为；
证明：若直线不过点，如图，
设，，
由题意可知直线的斜率存在且不为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
由直线过定点，可得，
同理直线的方程为，
过焦点，可得，
的方程，过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，即，
又因为，
所以，
令，解得，
故直线恒过定点，
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，
显然直线过点；
综上，直线过定点．
【解析】设，根据题意可建立关于的方程，求得的值，即可得到抛物线方程；
若直线不过点，设，，计算可知直线的方程为，结合，，可得，进而得到定点坐标；当直线过点，易知也过该定点，由此得证．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【解析】根据直角坐标方程转化为极坐标方程的方法求得射线和曲线的极坐标方程．
利用极坐标，结合三角形的面积公式求得的面积．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【解析】利用零点分段法求解绝对值不等式；
利用绝对值三角不等式得到，即，故，利用基本不等式“”的妙用证明出结论．
本题考查绝对值不等式的应用，不等式的证明，是中档题．
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