2023-2024学年安徽省高三（上）摸底数学试卷（8月份）（含解析）

2023-2024学年安徽省高三（上）摸底数学试卷（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数满足，则的共轭复数虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
3. 年月日第届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 已知函数的最大值为，最小值为，则( )
A. B. C. D.
5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知向量，函数若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. “杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度函数为，，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 该地水稻株高在以上的数量和株高在以下的数量一样多
D. 随机测量一株水稻，其株高在和单位：的概率一样大
10. 下列说法中正确的是( )
A. 在中，，则
B. 已知，则
C. 已知与的夹角为钝角，则的取值范围是
D. 若，则，，三点共线
11. 已知抛物线：的焦点为，，是抛物线上的两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若线段的中点为，则直线的方程为
B. 若线段过焦点，且，则直线的斜率为
C. 已知为抛物线上在第一象限内的一个动点，，若，则直线的斜率为
D. 抛物线上一动点到直线：和：的距离之和的最小值为
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”下列结论正确的是( )
A. 若为的跟随区间，则
B. 函数不存在跟随区间
C. 若函数存在跟随区间，则
D. 二次函数存在“倍跟随区间”
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知某圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥外接球的表面积为______ ．
14. 为了更好地了解早高峰车辆情况，某地交管部门在个路口统计分钟的车流量，每个路口的车流量分别为，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______ ．
15. 已知直线：与圆：相离，则整数的一个取值可以是______ ．
16. 已知，给出以下几个结论：
的最小正周期为；
是偶函数；
的最小值为；
在上有个零点；
在区间上单调递减；
其中正确结论的序号为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
求角；
若，求周长的取值范围．
18. 本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
证明：．
19. 本小题分
如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面．
求证：；
若直线与平面所成的角为为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小．
20. 本小题分
习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分满分分，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于分 分到分 分到分 不低于分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取人，求至少人非常满意的概率；
相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；注：满意指数
在等级为不满意的市民中，老人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取人了解不满意的原因，并从中选取人担任督导员记为老年督导员的人数，求的分布列及数学期望．
21. 本小题分
已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．
求椭圆的方程；
设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．
22. 本小题分
设函数，．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
若存在两个极值点，，且对任意，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，即，
故，
，其虚部为．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合中元素满足，，即该数为大于的奇数，
而集合中大于的奇数只有和．
所以，
的真子集有个，分别是：，，．
故选：．
求出后，由真子集的定义可得．
本题考查集合的运算，考查真子集的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将个志愿者分为组，有种分法，
将分好的组安排全排列，安排参加个项目进行志愿者服务，有种情况，
则有种分法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：将个志愿者分为组，将分好的组安排全排列，安排参加个项目进行志愿者服务，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，
因为，
所以为奇函数，
所以，
则，
所以当时，，
，
所以．
故选：．
设，则可得为奇函数，，从而有，，代入求解即可．
本题考查了奇函数的性质，转化思想，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线的方程为，
因此直线的倾斜角的正切值为，即，
所以有，
设，，由双曲线定义可知：，，
由余弦定理可知：．
故选：．
根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：已知向量，函数，
则，，
又函数在为增函数，在为减函数，
又，，，
因为函数恰有两个零点，
所以实数的取值范围为．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，，
，，
依题意，即，则，
，由于，所以，
则，
两边取对数得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，所以．
故选：．
先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案．
本题考查等比数列的前项和公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，由可得，即函数的定义域为，，可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，解得．
故选：．
将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由正态分布密度曲线函数为，，
得，．
该地水稻的平均株高为，故A正确；
该地水稻株高的标准差，方差为，故B错误；
，
，
随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，故C正确；
，
．
随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率不一样大，
故D错误．
故选：．
由已知可得，由此判断A正确，B错误；然后再由、、原则求解概率判断与．
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，在中，，
则，
即选项A错误；
对于选项B，已知，
则，
则，
即选项B正确；
对于选项C，已知与的夹角为钝角，
则，
即，
设，
则，
即，
即当与的夹角为钝角时，的取值范围是，
即选项C错误；
对于选项D，若，
则，
则，
即，
则，，三点共线，
即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及夹角的运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，设直线方程为，将其与联立得，
设，，由题意得，即，所以有，
又，将代入其中，解得，所以，即直线方程为，A正确；
对于，抛物线焦点为，设直线方程为，将其与联立得，设，，则
，解得，B正确；
对于，设，则有，解得或，
即第一象限满足条件的点有个，所以直线的斜率取值有个，C错误；
对于，抛物线上点到直线的距离等于到准线的距离加，即等于其到焦点的距离加，
结合图像可知，当垂直于直线时，到直线：和：的距离之和取得最小值，为，D正确．
故选：．
结合抛物线的性质对各选项进行计算分析即可．
本题主要考查抛物线相关性质，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，若为的跟随区间，
因为在区间为增函数，故其值域为，
根据题意有，解得或，因为故故A错误．
对于选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，
若存在跟随区间则有，即，为的两根．
即的根．故故B错误．
对于选项，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因为，所以．
易得．
所以，
令代入化简可得，
同理也满足，
即在区间上有两不相等的实数根．
故，解得，故C正确．
对于选项，若存在“倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为．
当时，易得在区间上单调递增，
此时易得，为方程的两根，
求解得或故定义域，则值域为D正确．
故选：．
根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案．
本题考查新定义的问题，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，可设圆锥的底面半径为，
则，故，则圆锥的高，
设该圆锥外接球的半径为，则，
解得，故该圆锥外接球的表面积为．
故答案为：．
根据题意求得圆锥的底面半径和高，列方程求得外接球的半径，即可求得答案．
本题考查了圆锥的外接球的表面积计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，，共个，
，
故这组数据的第百分位数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
15.【答案】或或注意：只需从，，中写一个作答即可
【解析】解：因为圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离，
因为圆的方程可化简为，即半径为，
所以，
所以，故整数的取值可能是，，．
故答案为：或或注意：只需从，，中写一个作答即可．
利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数的范围．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：对于：，，
即，故的最小正周期不是，故错误；
对于：，故是偶函数，故正确；
对于：当时，可得，
，则，
，，即；
当时，可得，
，则，
，故；
综上，当，的值域为．
当时，则，可得，
故时，的值域为，
又是偶函数，
在上的值域为，即的最小值为，故错误；
对于：由可得：当时，令，即，
，则，
当，即时，；
当时，可得，即，
，则，
当，即时，；
综上所述：在上有个零点．
是偶函数，
在上有个零点，故正确；
对于：当时，则，
可得在区间上单调递减，故正确．
故答案为：．
对：根据周期性、奇偶性的定义分析判断；对：分类讨论去绝对值，结合辅助角公式以及正弦函数的性质逐项分析判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，，且，
，
由正弦定理得，
、，
，即；
由得，
由正弦定理得，
，，
，
由于为锐角三角形，，
故，
所以，故；
故
所以．
【解析】首先利用向量共线的性质求出的值，再利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
当时，也满足上式，
所以的通项公式为；
证明：由得：，
所以
，
因为，
所以．
【解析】利用公式，，即可求数列的通项公式；
根据的结果可知，再利用裂项相消法求和后证明即可．
本题考查由数列递推式求通项公式，裂项相消法求和等，属于中档题．
19.【答案】证明：设，则中点为，且，
因为平面平面，且交线为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又直三棱柱，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：由知平面，
所以直线与平面所成的角为，
不妨设，，，，
以为原点，，，分别为，，轴正方向建立坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，所以．
【解析】通过证明平面来证得；
建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的大小．
本题主要考查线线垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
解得，
设至少人非常满意的概率为事件，
由题意知人中非常满意的人数，
．
由频率分布直方图得：
满意度平均分为，
满意指数，
因此，能通过验收．
分层抽取人中老人有人，
由题意知服从超几何分布，的可能取值为，，，，
，
，
，
，
．
【解析】利用频率分布直方图的性质求解，设至少人非常满意的概率为事件，由题意知人中非常满意的人数，然后求解概率；
求解满意度平均分，推出满意指数，即可判断结果；
服从超几何分布，的可能取值为，，，，求出概率，即可求解期望．
本题主要考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题．
21.【答案】解：因为椭圆的长轴长为，则，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
所以椭圆的标准方程为．
若与轴重合，则不存在，
设直线的方程为，设点、，
若，则点与点重合，不合乎题意，所以，
联立，消去整理得，
，
，，
易知点，，
直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，，
所以，
令，则函数在上为增函数，
所以，所以，．
故的面积的取值范围是．
【解析】根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；
分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围．
本题主要考查椭圆的性质与标准方程，直线与椭圆的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：因为，
所以，解得；
，令得，
解得，或时且，
当即时，，对任意，恒成立，
得可得，，
时成立，时，有在恒成立，
令，所以在单调递减，
有，所以；
当即时，，对任意，恒成立，即在上恒成立，
因为，可得，
解得，
当即时，，重合，不符合题意，
综上所述，或，
实数的取值范围为．
【解析】求出，令，求解可得答案；
令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案；当根据，可得，求解可得答案．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
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