2023-2024学年山东省济南市高三上学期开学摸底联考数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省济南市高三上学期开学摸底联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
2. 已知复数，则( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 某班计划从位男生和位女生中选出人参加辩论赛，并且至少位女生入选，则不同的选法的种数为( )
A. B. C. D.
5. 过点与圆相切的两条直线垂直，则( )
A. B. C. D.
6. “曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7. 已知为锐角，若，则( )
A. B. C. D.
8. 记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数的最大值为，则( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调递增
10. 已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则( )
A. 直线平面
B. 直线平面
C.
D. 过，，三点的平面截正方体的截面面积为
12. 已知抛物线，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则( )
A. B. 直线过定点
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 ．
14. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为 ．
15. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ．
16. 若函数的图象关于直线对称，且有且仅有个零点，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求外接圆的半径
若，求的面积．
18. 本小题分
随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场年的线下销售额如下：
年份编号
年份
销售额单位：万元
由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明
建立关于的回归方程，并预测年该商场的线下销售额．
参考公式及数据：，，，，，．
19. 本小题分
等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．
求和的通项公式
记，求数列的前项和．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．
证明：
若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
21. 本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上．
求的方程
过右焦点的直线交于，两点，若，求的方程．
22. 本小题分
已知函数．
若，求的值
证明：当且时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
先求出，再利用交集运算即可求解．
【解答】
解：集合，
则 ，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算以及模的求法，属于基础题．
根据复数的运算将复数化简，再求模即可．
【解答】
解：，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，考查两向量垂直的充要条件，以及向量的数量积运算，属于基础题．
先求出再利用两向量垂直，两向量数量积为，得到方程求解即可．
【解答】
解：因为向量，，
则，
又，
所以，
解得．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查组合的应用和分类加法计数原理，属于基础题．
先根据女生入选的人数分类求出不同的选法，再根据加法计数原理求得结果．
【解答】解：由题设知不同的选法可分两种情况：
第一种情况，只有位女生入选，不同的选法有种；
第二种情况，有位女生入选，不同的选法有种，
根据分类加法计数原理知，至少有位女生人选的不同的选法有种，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程和圆的切线的性质与判断定理，属于基础题．
利用圆的标准方程得所给圆的圆心坐标与半径，再利用圆的切线的性质得点与点的距离等于，最后计算得结论．
【解答】
解：由得，
因此圆的圆心坐标是，半径为．
因为过点与圆相切的两条直线垂直，
所以点与点的距离等于，
即，解得．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件与必要条件的判断，主要考查了导数的几何意义，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
利用导数的几何意义，求出曲线与直线相切时的值，从而得到曲线恒在直线上方时的取值范围，利用充分条件与必要条件的定义判断即可．
【解答】
当直线为曲线的切线时，
，设与曲线相切的切点为，则切线的斜率为，
将切点代入曲线，得到，
又由，即，
所以，即，
即，所以，即，
又由曲线恒在直线上方，
所以，
故“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数化简求值，属于基础题．
利用诱导公式和二倍角公式即可求解．
【解答】
解：，
则
又为锐角，
则
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和．
首先求出公比，再求出首项，即可得．
【解答】
解：设等比数列的首项为，公比为，
因为，即，解得或，
当时，由，即，解得，
所以
当时，由，即，解得，
所以．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数公式，函数的图象与性质，属中档题．
利用两角和与差的三角函数公式化简可得，由最大值求出，利用三角函数的性质逐一验证各选项即可．
【解答】
解：因为，所以，又，解得，A正确；
此时，
，所以点不是的对称中心，B错误；
，所以不是图象的一条对称轴，C错误；
时，，此时单调递增，D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质和应用，属于基础题．
根据不等式的性质，分别进行判断即可．
【解答】
解：令，，，但，故A错误；
B.，则，故B正确；
C.，则，故C正确；
D.，则，故D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正方体的结构特点，线面垂直、线面平行的判定，棱锥的体积，几何体中的截面问题，属于中档题．
由线面垂直的判定定理判断；由线面平行的判定定理判断；由求，判断；由题意可得过，，三点的平面截正方体的截面为梯形，求出梯形面积，判断．
【解答】
对于，，正方体中，平面，平面，，，
、平面，
平面，
平面，
，
同理，
，，平面，
平面，故A正确；
对于，连接，点，分别是棱，的中点，
，平面，平面，平面，故B正确；
对于，
．
对于，，，，，
过，，三点的平面截正方体的截面为梯形，正方体棱长为，
则，，等腰梯形的高为，
，故D错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，平面向量的坐标运算，直线与抛物线的位置关系，直线系方程及其应用，直线与圆锥曲线相交的弦长，点到直线的距离公式和利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用向量的数量积的坐标运算对进行判断，设直线的方程为，利用直线与抛物线的位置关系，结合得直线的方程为，再利用直线系方程对进行判断，利用直线与圆锥曲线相交的弦长得，再利用点到直线的距离公式得点到直线的距离，再利用三角形的面积对进行判断，利用基本不等式求最值，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于因为直线交抛物线于，两点，且，
所以，且，，
因此，即，解得，故A正确；
对于因为直线交抛物线于，两点，所以直线的斜率不为，
因此设直线的方程为．
因为由得，所以，且，
而由选项A知：，因此，所以直线的方程为，
因此直线过定点，故B正确；
对于由选项B知：直线的方程为，且，，
因此．
因为点到直线的距离为，
所以，
因此当时，取得最小值，最小值为，故C错误；
对于由选项A知：，因此、均不为，所以、均不为，
因此，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确．
13.【答案】
【解析】解：圆锥的轴截面是正三角形，边长等于
圆锥的高，
底面半径
因此，该圆锥的体积
故答案为：；
根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．
本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了古典概型的计算和条件概率，属于基础题．
利用古典概型的计算，结合列举法得，，再利用条件概率计算得结论．
【解答】
解：设表示第次正面向上的点数为，第次正面向上的点数为，
因此依次抛掷两枚质地均匀的骰子的所有可能结果是：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共种．
因为事件所包含的可能结果是：，，，
，，，，，，，
，，，，，共种，
事件所包含的可能结果是：，，，，
，，共种，
所以，，因此．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于简单题．
利用已知条件，转化为：，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：线段的垂直平分线过点，则，
即，
故．
16.【答案】．
【解析】【分析】
本题考查函数与导数的综合运用，考查函数与方程思想，数形结合思想，考查运算求解能力，属于难题．
由函数图象变换法则可知的图象也关于直线对称，易知，，由此可得，的值；令，即，则函数的图象与直线有且仅有四个交点，令，对函数求导，利用导数研究函数的单调性和取值情况，进而作出函数和函数的草图，结合图象可得的值，进而得解．
【解答】解：依题意，函数的图象也关于直线对称，
因为点和点在的图象上，且图象关于直线对称，
所以点和点也在的图象上，
则
解得
所以，
令，即，
依题意，函数的图象与直线有且仅有四个交点，
令，，
则，
令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
注意，
作出函数与函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使函数的图象与直线有且仅有四个交点，
则需，
所以．
故答案为：．
17.【答案】解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，即．
由可知：，或，
因为，，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以．
【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又，即可求得，值，由正弦定理可得外接圆的半径
由求得的值，利用余弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可得解．
18.【答案】解：由已知数据可得，，，
所以，，
所以，，
因为非常接近，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系．
由已知数据可得，，
所以，，
，
所以，关于的回归方程为
令，则万元
所以预测年该商场的线下销售额为万元。
【解析】本题考查了回归直线方程和相关系数，是中档题．
根据所给数据由公式得出相关系数，可得结论
根据公式计算，再由，可得关于的线性回归方程，将年对应的年份编号代入回归方程即可求解答案．
19.【答案】解：设数列的公差为．
由得
解得
故，
设数列的公比为，
由，，
得，解得，
故．
因为，
所以数列的前项和为
．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，分组转化求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
，利用等差，等比数列的前项和公式即可得出．
20.【答案】证明：在正方形中，有，又底面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，所以，
又，点是棱的中点，所以有，
又，所以平面，
又平面，所以．
如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，
设点，，
设平面的法向量，
令，可得，
又，
所以直线与平面所成角的正弦值，
化简可得，即，
所以或舍，
即点，由可得，，，
所以点到平面的距离．

【解析】题考查线面垂直的判定定理，线面成角以及点到平面的距离的求法，考查学生空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．
利用，，可得平面，即可证明，再结合，可证明平面，从而证明；
建立空间直角坐标系，根据线面角求出平面的法向量，利用向量法即可得出距离．
21.【答案】解：由题，所以，故双曲线的方程为．
显然直线的斜率不为，
设，，
则联立双曲线得：，故，，，
，
化简得：，
故，
即，或
当时，直线过点，不合题意，舍去，
所以直线的方程．
【解析】本题考查双曲线的概念和标准方程、直线和双曲线的位置关系，属于中档题
由题解方程求出，，即可求解；
显然直线的斜率不为，设，，联立直线和双曲线方程、结合直线斜率公式和韦达定理进行求解即可．
22.【答案】解：由题意知，，，
当时，，在上单调递减，所以，当时，，不合题意
当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意
当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，对于任意的，，符合题意
当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意．
综上所述，．
由知，时，，即，当且仅当时等号成立．
令，其中且，则有，
又，所以，，即
所以，．
所以，原不等式得证．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、以及导数中函数不等式
求导，对进行分类讨论，求出函数的单调性和最值即可求解；
令，其中且，则有，又，所以，，即，即可证明。
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