11.2与三角形有关的角 同步训练（含解析） 2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 11.2与三角形有关的角 同步训练（含解析） 2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 345.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 22:32:41 | ||
图片预览
文档简介
11.2与三角形有关的角
一、单选题
1．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（）
A．60° B．30° C．70° D．50°
3．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，连接，，，且，下列结论：①若，则；②若与互补，则.则（ ）
A．仅①正确 B．仅②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
5．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
6．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
二、填空题
9．如图，在中，于点D，，，则的度数为 ．
10．如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为 .
11．为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引人阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．则∠E的度数是 ．
12．如图，直线AB∥CD，CE⊥AD，若∠DCE=40°，则∠1的度数为 ．
三、解答题
13．如图，点为的边的延长线上一点，过点作于点，交于点，若，，求的度数.
14．如图，在中，AD平分交BC于D，于E，，，求的度数.
15．已知：如图，，点E在AC上.求证：.
16．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
17．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，求∠B的度数．
18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
19．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝100°，求∠A和∠ACE的度数．
20．填空：
已知：如图，、相交于点．
求证：
证明：∵，（ ）
∴ ．（等式性质）
同理可得：
又∵，（ ）
∴，（等量代换）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
又∠2＝40°，
∵∠3＝∠A+∠2＝70°，
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠1=30°，进而再根据三角形外角性质，由∠3＝∠A+∠2即可算出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】直接根据内角和定理进行计算即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
， 平分，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义及三角形的内角和定理得∠B=50°，根据角平分线的定义得∠BAD=30°，最后根据三角形外角的性质，由∠ADC=∠B+∠BAD即可算出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解： ①∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵BD⊥BC，
∴∠BDC=90°-∠BCD，
∴∠A=2∠BDC=180°-2∠BCD，
∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-(180°-2∠BCD)-∠BCD=∠BCD，故① 正确；
②∵∠A+∠BDC=180°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，∠ABC=∠BCD，
∴∠BDC=∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠ABC，
∵∠BCD+∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠ABC+∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠ABC+∠ABC=90°，
∴，故 ② 正确.
综上所述， ①② 正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，结合已知条件把∠ABC和∠ACB分别用∠BCD来表示，即可判断 ① ；根据补角的性质得出∠BDC=∠ACD=∠ACB+∠ABC，结合∠BCD+∠BDC=90°，等量代换即可求出，则可判断②.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故答案为：A．
【分析】先求出∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°，再结合∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，利用角的运算和等量代换可得∠1＋∠2=210°。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个.
故答案为：C.
【分析】由图形可得∠E＝60°，∠2＝30°，∠CAB＝90°，则∠1＝60°，推出∠1＝∠E，然后根据平行线的判定定理可判断①；∠BAE+∠CAD＝90°-∠1+90°+∠1，据此判断②；根据平行线的性质可得∠3＝∠B＝45°，然后根据∠2+∠3＝∠DAE＝90°求出∠2的度数，据此判断③；由②的结论可得∠BAE＝30°，根据外角的性质可得∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，则∠4+∠B＝90°，结合∠B的度数求出∠4的度数，进而判断④.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠C=3∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠C=∠B
∴∠A+∠A-∠C+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=2∠C，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°，
∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=∠C，
∴∠C+∠C+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不 符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意和三角形内角和定理分别求出△ABC各角的度数，再根据直角三角形的定义进行判断，即可得出答案.
9．【答案】25°/25度
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=25°，
故答案为：25°.
【分析】根据垂直先求出∠ADB=∠ADC=90°，再求出∠BAD=45°，最后计算求解即可。
10．【答案】北偏东20°
【解析】【解答】解：如图，根据题意可知∠ABC=180°-60°=120°，
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=20°，
∴∠DCE=20°，
∴快艇航行的方向是北偏东20°.
故答案为：北偏东20°.
【分析】画出示意图，根据题意可知∠ABC=180°-60°=120°，利用内角和定理可得∠ACB=20°，由对顶角的性质可得∠DCE=∠ACB=20°，据此解答.
11．【答案】30°
【解析】【解答】解：如图，延长DC交AE于F点，
∵CD∥AB，
∴∠EFC=∠A=80°，
∵∠ECD=110°，∴∠ECF=180°-∠ECD=70°，
∴∠E=180°-∠ECF-∠EFC=180°-70°-80°=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长DC交AE于F点，根据平行线的性质求出∠EFC的度数，再根据邻补角的性质求出∠ECF的度数，最后根据三角形内角和定理求∠E度数即可.
12．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵CE⊥AD
∴∠CED=90°
∵∠DCE=40°
∴∠EDC=90°-40°=50°
∵AB∥CD
∴∠1=∠EDC=50°
故答案为：50°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠EDC=90°-40°=50°，再利用平行线的性质可得∠1=∠EDC=50°。
13．【答案】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．【答案】解：∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴
∴.
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义算出∠DAE的度数，由垂直定义得∠AED=90°，最后再根据三角形内角和定理即可算出答案.
15．【答案】证明：在 中，
∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质），
又∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（等式的性质），
∴（等量代换）.
【解析】【分析】在三角形CED中，根据三角形内角和定理可将∠CED+∠D用含∠C的代数式表示出来，然后由两直线平行同旁内角互补可得∠A+∠C=180°，于是∠A也可用含∠C的代数式表示出来，根据表示的代数式即可判断求解.
16．【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
故∠DAE和∠BOA的度数分别是10°和125°．
【解析】【分析】先利用垂直的定义得出∠ADC＝90°，接着利用三角形内角和定理得出∠CAD、∠BAC，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解。
17．【答案】解：∵，
∴，．
设，
∴．
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】设，则，再结合，可得，求出，即可得到。
18．【答案】解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
【解析】【分析】由三角形内角和定理和角的运算即可得解。
19．【答案】解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°；
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝50°
【解析】【分析】根据题意先求出 ∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，再根据角平分线求出∠ABC＝80°， 最后计算求解即可。
20．【答案】证明：∵，（三角形的内角和等于180°）
∴．（等式性质）
同理可得：
又∵，（对顶角相等）
∴，（等量代换）
故答案为：三角形的内角和等于180°， 1， 2， 对顶角相等
【解析】【分析】由三角形的内角和等量得∠A+∠B＋∠1=180°， 根据等式的性质得∠A+∠B=180°-∠1 ，同理得出∠C+∠D=180°-∠2 ，根据对顶角的性质得出∠1=∠2，再等量代换，即可得出结论.
一、单选题
1．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（）
A．60° B．30° C．70° D．50°
3．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，连接，，，且，下列结论：①若，则；②若与互补，则.则（ ）
A．仅①正确 B．仅②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
5．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
6．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
二、填空题
9．如图，在中，于点D，，，则的度数为 ．
10．如图，快艇从P处向正北方向航行到A处时，向左转航行到B处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为 .
11．为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引人阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．则∠E的度数是 ．
12．如图，直线AB∥CD，CE⊥AD，若∠DCE=40°，则∠1的度数为 ．
三、解答题
13．如图，点为的边的延长线上一点，过点作于点，交于点，若，，求的度数.
14．如图，在中，AD平分交BC于D，于E，，，求的度数.
15．已知：如图，，点E在AC上.求证：.
16．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
17．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，求∠B的度数．
18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
19．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝100°，求∠A和∠ACE的度数．
20．填空：
已知：如图，、相交于点．
求证：
证明：∵，（ ）
∴ ．（等式性质）
同理可得：
又∵，（ ）
∴，（等量代换）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
又∠2＝40°，
∵∠3＝∠A+∠2＝70°，
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠A=∠1=30°，进而再根据三角形外角性质，由∠3＝∠A+∠2即可算出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】直接根据内角和定理进行计算即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
， 平分，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义及三角形的内角和定理得∠B=50°，根据角平分线的定义得∠BAD=30°，最后根据三角形外角的性质，由∠ADC=∠B+∠BAD即可算出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解： ①∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵BD⊥BC，
∴∠BDC=90°-∠BCD，
∴∠A=2∠BDC=180°-2∠BCD，
∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-(180°-2∠BCD)-∠BCD=∠BCD，故① 正确；
②∵∠A+∠BDC=180°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，∠ABC=∠BCD，
∴∠BDC=∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠ABC，
∵∠BCD+∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠ABC+∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠ABC+∠ABC=90°，
∴，故 ② 正确.
综上所述， ①② 正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，结合已知条件把∠ABC和∠ACB分别用∠BCD来表示，即可判断 ① ；根据补角的性质得出∠BDC=∠ACD=∠ACB+∠ABC，结合∠BCD+∠BDC=90°，等量代换即可求出，则可判断②.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故答案为：A．
【分析】先求出∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°，再结合∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，利用角的运算和等量代换可得∠1＋∠2=210°。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个.
故答案为：C.
【分析】由图形可得∠E＝60°，∠2＝30°，∠CAB＝90°，则∠1＝60°，推出∠1＝∠E，然后根据平行线的判定定理可判断①；∠BAE+∠CAD＝90°-∠1+90°+∠1，据此判断②；根据平行线的性质可得∠3＝∠B＝45°，然后根据∠2+∠3＝∠DAE＝90°求出∠2的度数，据此判断③；由②的结论可得∠BAE＝30°，根据外角的性质可得∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，则∠4+∠B＝90°，结合∠B的度数求出∠4的度数，进而判断④.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠C=3∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠C=∠B
∴∠A+∠A-∠C+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=2∠C，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°，
∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=∠C，
∴∠C+∠C+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不 符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意和三角形内角和定理分别求出△ABC各角的度数，再根据直角三角形的定义进行判断，即可得出答案.
9．【答案】25°/25度
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=25°，
故答案为：25°.
【分析】根据垂直先求出∠ADB=∠ADC=90°，再求出∠BAD=45°，最后计算求解即可。
10．【答案】北偏东20°
【解析】【解答】解：如图，根据题意可知∠ABC=180°-60°=120°，
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=20°，
∴∠DCE=20°，
∴快艇航行的方向是北偏东20°.
故答案为：北偏东20°.
【分析】画出示意图，根据题意可知∠ABC=180°-60°=120°，利用内角和定理可得∠ACB=20°，由对顶角的性质可得∠DCE=∠ACB=20°，据此解答.
11．【答案】30°
【解析】【解答】解：如图，延长DC交AE于F点，
∵CD∥AB，
∴∠EFC=∠A=80°，
∵∠ECD=110°，∴∠ECF=180°-∠ECD=70°，
∴∠E=180°-∠ECF-∠EFC=180°-70°-80°=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长DC交AE于F点，根据平行线的性质求出∠EFC的度数，再根据邻补角的性质求出∠ECF的度数，最后根据三角形内角和定理求∠E度数即可.
12．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵CE⊥AD
∴∠CED=90°
∵∠DCE=40°
∴∠EDC=90°-40°=50°
∵AB∥CD
∴∠1=∠EDC=50°
故答案为：50°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠EDC=90°-40°=50°，再利用平行线的性质可得∠1=∠EDC=50°。
13．【答案】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．【答案】解：∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴
∴.
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义算出∠DAE的度数，由垂直定义得∠AED=90°，最后再根据三角形内角和定理即可算出答案.
15．【答案】证明：在 中，
∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质），
又∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（等式的性质），
∴（等量代换）.
【解析】【分析】在三角形CED中，根据三角形内角和定理可将∠CED+∠D用含∠C的代数式表示出来，然后由两直线平行同旁内角互补可得∠A+∠C=180°，于是∠A也可用含∠C的代数式表示出来，根据表示的代数式即可判断求解.
16．【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
故∠DAE和∠BOA的度数分别是10°和125°．
【解析】【分析】先利用垂直的定义得出∠ADC＝90°，接着利用三角形内角和定理得出∠CAD、∠BAC，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解。
17．【答案】解：∵，
∴，．
设，
∴．
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】设，则，再结合，可得，求出，即可得到。
18．【答案】解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
【解析】【分析】由三角形内角和定理和角的运算即可得解。
19．【答案】解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°；
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝50°
【解析】【分析】根据题意先求出 ∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，再根据角平分线求出∠ABC＝80°， 最后计算求解即可。
20．【答案】证明：∵，（三角形的内角和等于180°）
∴．（等式性质）
同理可得：
又∵，（对顶角相等）
∴，（等量代换）
故答案为：三角形的内角和等于180°， 1， 2， 对顶角相等
【解析】【分析】由三角形的内角和等量得∠A+∠B＋∠1=180°， 根据等式的性质得∠A+∠B=180°-∠1 ，同理得出∠C+∠D=180°-∠2 ，根据对顶角的性质得出∠1=∠2，再等量代换，即可得出结论.