22.2二次函数与一元二次方程 同步测试题 （含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点
2．直线与抛物线的交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3．如图，二次函数的图像与x轴交于点，对称轴是直线，根据图像判断以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．当，则y随x的增大而增大
4．关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于轴对称，则抛物线与轴的交点情况是（ ）
A．没有或有一个交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．没有交点
6．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 2
y 0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数可改写为的形式
②二次函数的图象开口向下
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2
④若，则。其中所有正确的结论为（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
7．在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或或
8．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为3和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（满分40分）
9．若方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线 .
10．已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
11．二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ．
12．在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个不同交点，则的取值范围是 ．
13．抛物线的部分图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
14．把二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件 ．
15．如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．
16．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．其中正确的是 ．（填序号）．
三、解答题（满分48分）
17．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)当时，的最小值是_____，最大值是______；
(3)当时，写出的取值范围．
18．已知抛物线．
(1)求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；
(2)若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值．
19．二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1)写出不等式的解集；
(2)当时，写出函数值y的取值范围．
(3)若方程有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)证明为直角三角形；
(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线，其中．
(1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
(2)如图，设抛物线与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为，已知点，直线交抛物线于另一点，连接，过点作轴，交于．
①请直接写出，，的坐标（可用含的式子表示）；
②求证：当变化时，线段的长度恒为定值．
参考答案
1．解：∵．
∴抛物线与轴一定有公共点．
故选：C．
2．解∶假设直线与抛物线有交点，
则，
方程有两个相等的实数根，
直线与抛物线有1个交点．
故选：B．
3．解：∵二次函数的图像与x轴交于点，
对称轴是直线，
∴与x轴交于点
∴，故A错误；
∴，即，
∴，
令，则，故B错误；
∵，函数图像在轴上方，
∴，故C正确；
当时，则y随x的增大而增大，故D错误．
故选：C．
4．解：根据题意得，，
解得：．
分类讨论：①当时，即，
∴原方程为，
解得：，满足题意；
②当时，即时．
∴原方程有两个不相等的实数根．
∵该二次函数的对称轴为直线，且有且只有一个根在的范围内，
∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示，
观察图象可知，当时，方程的两个根分别为，，不满足题意；
当时，方程的两个根分别为，，满足题意；
当时，方程的两个根都在范围内，不满足题意．
综上可知，满足条件的t的范围为或，
故选C．
5．解：抛物线的对称轴为：，
抛物线的对称轴为：，
抛物线与关于轴对称，
，
，
中，，，
，
，
，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点，故C正确．
故选：C．
6．解：由表格可得，
∵该函数的图象经过，，
∴该函数图象的对称轴是直线，
∴该函数图象的顶点坐标是，有最小值，开口向上，
∴二次函数可改写为的形式，
故选项①正确，选项②错误；
∵该函数的图象经过，，
∴关于x的一元二次方程即方程的两个根为0或2，故选项③正确；
∵该函数的图象经过，关于对称轴的对称点为，且开口向上，
∴若，则或，故选项④错误；
综上，正确的结论为①③，
故选：C．
7．解：一元二次方程根的判别式，
一元二次方程根的判别式，
当时，解得或（不符合题意，舍去），
当时，解得，
①当时，则，，
所以，
所以；
②当时，则，
所以；
③当时，则，
所以，
所以；
④当时，则，
所以，
所以；
⑤当时，则，
所以；
综上，或或，
故选：D．
8．解：①∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当时，，
故结论①符合题意；
②根据函数图象可知，
当，即，
对称轴为，即 ，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，故结论②不符合题意；
③根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为和1，
故结论③不符合题意；
④点到对称轴的距离为：．
到对称轴的距离为：，
到对称轴的距离为：．
∵抛物线开口向上．
∴．故结论④不符合题意；
⑤当时，，
∴当时，，
∴，故结论⑤不符合题意，
综上：只有①符合题意，
故答案为：A．
9．解：∵函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，
∵，，
∴，
∴对称轴为直线，
故答案为：．
10．解：当二次函数的图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当二次函数的图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得，
当时，函数为与坐标轴有两个公共点；
综上可得，或或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：0或或．
11．解：令，则，
解得，，
∴，，
∴．
故答案为：10．
12．解：∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴中，，
即 ，
解得：．
故答案为：．
13．解：∵抛物线与轴的交点为，
将点代入抛物线，得：,
∵对称轴为，
∴，
解得：，
∴方程为，即，
∴方程的解为，，
故答案为：，．
14．解：由题意可得，
平移后函数解析式为：，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴抛物线与x轴有两个交点，
即：方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
15．解：由题意得，关于x的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
16．解：①由图象可知，图象经过点，
∴的对称轴为直线：
∴ ，
∴，即，故①正确；
②由图可知：的图象可知：与轴的交点为，
∵函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，
∴抛物线与轴交点为，
∴，故②错误；
③∵，
∴，
∵，
∴， 故③正确；
④设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴顶点坐标为，
∴顶点坐标为，
∵点向上平移1个单位后的坐标为，
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故答案为：①③④．
17．（1）解：根据题意得，，
∴改写形式为．
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示，
∴当时，二次函数与轴的交点坐标为；
当时，二次函数；
当时，二次函数；
∴当时，，有最小值；，有最大值，
故答案为：，．
（3）解：令时，，解得，，，
∴当时，的取值范围是．
18．（1）证明：，
由，
，
无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：解：根据题意得，，
，
，
，
整理得，
解得：，．
19．解：（1）由图像可得，
当或时，；
（2）由图像可知，
当时，函数值 y的取值范围；
（3）由图像可知，
函数的最小值是，
当 时，，
故方程有两个不相等的正实数根， k 的取值范围是．
20．（1）解： 抛物线与轴交于、两点，
．即．
解之得：，．
点、的坐标为，、，．
将代入，得点的坐标为；
（2）解：由两点间的距离公式得：，，，
，则，
是直角三角形；
（3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为
设，把代入得：
，
，．
点坐标为，．
21．（1）证明：，
△，
，
△，
该抛物线与轴恒有两个不同的交点；
（2）①解：令，则，
或，
点在点的左边，，
，，
令，则，
；
②证明：设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
，
是方程的一个根，
方程的另一个根为，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
轴，交于，
，
，
当变化时，线段的长度恒为定值1．