上海市重点中学2024届高三上学期开学考数学试题（无答案）

上海市重点中学2024届高三上学期开学考
数学
2023.9
一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6小题每题4分，后6小题每题5分）
1．不等式的解集为__________．
2．若，，则__________．
3．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则__________．
4．已知，则__________．
5．已知函数，则的值域为__________．
6．已知复数，则__________．
7．已知圆的面积为，则__________．
8．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，c=2的面积为，__________．
9．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则__________．
10．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________．
11．已知当时，有成立，若对任意的都有，则__________．
12．若函数有且仅有一个极值点，则a的取值范围是__________．
二、选择题（本大题共4小题，前2小题4分，后2小题5分，满分18分）
13．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）．
A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①②
14．已知集合，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
15．已知函数的图像在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
16．关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点对称，但不关于x轴，y轴对称；
②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于；
④曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，点E，F分别为与的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面的成角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知奇函数的定义域为．
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，恒成立，求m的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中技能测试是否通过相互独立．
（1）若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离．
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为．
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N，求面积的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数和，它们的图像分别为曲线和．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：曲线和有唯一交点；
（3）设直线与两条曲线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列．