人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习
一、选择题
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26° B．64° C．52° D．128°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且 ，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
5．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题都是真命题
B．在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等
C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
6．如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
7．点A．C为半径是3的圆周上两点，点B为 的中点，以线段BA．BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A． 或2 B． 或2 C． 或2 D． 或2
二、填空题
8．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 ．
9．如图，已知AB，CD是☉O的直径， = ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
10．已知弦AB与CD交于点E，弧 的度数比弧 的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB= （用关于m的代数式表示）．
11．（2016九上·杭州期中）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC= 度．
12．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α= 度．
三、解答题
13．如图，在⊙O中， =2 ，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
14．如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径。
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值
15．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF
（2）若CD=6，CA=8，求AE的长
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠ABC=34°，
∵ ，
∴2∠ABC=∠COE=68°，
又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．
故答案为：C．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余可知∠ABC=34°，再利用等弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，可得∠COE=68°，最后借助四边形内角和等于360°即可求解。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：真命题的逆命题不一定都是真命题，A错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，B错误，不符合题意；
等边三角形的高线、中线、角平分线互相重合，C错误，不符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据原命题与逆命题的关系、等腰三角形的三线合一、矩形的判定、圆心角弧弦的关系，逐个判断即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等可得AB=AC，从而利用等边对等角有∠B=∠C，再借助三角形内角和即可解答。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD= ×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE= BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE= = ，
∴边CD= = ；
如图②，BD= ×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE= = =2 ，
∴边CD= = =2 ．
故答案为：D．
【分析】由顶点D恰在该圆直径的三等分点上，分两种情况求解：过B作直径，连接AC交AO于E，当BD= ×2×3=2时，根据菱形对角线垂直平分可知DE =1，而OD=OB﹣BD=1，从而得OE=2，再两次利用勾股定理先求出CE，后即可求出边CD；当BD= ×2×3=4，类比前面的过程和方法即可。
8．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数= ×360°=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据圆心角的度数与所对弧的度数相等即可解答。
9．【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴∠AOE=∠COA；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64
【分析】根据在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等，即可解答。
10．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵弧BC与AD的度数之差为20°，
∴∠CAB﹣∠C= ×20°=10°，......①
∵∠CEB=∠CAB+∠C=m°，......②
∴联立①②解得∠CAB= ．
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可知∠CAB﹣∠C =10°，再利用三角形外角的性质联立方程组即可表示∠CAB。
11．【答案】120
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．
∴OD= OE，AD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OD= BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．
故答案为：120．
【分析】过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．根据垂径定理可得OD= OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD= BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
12．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB= ，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．
故答案为：75.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据勾股定理的逆定理和同圆半径相等，可知△AOB是等腰直角三角形、△COD是等边三角形，从而有∠OBA=45°、∠ODC=60°，又由同弧所对的圆周角相等、同圆半径相等可得∠CDB=∠CAB、∠ODB=∠OBD，最后利用三角形内角和即可求出α。
13．【答案】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴ ，AE=2AD，∵ ，∴ ，∴AB=AE，∴AB=2AD．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】延长AD交⊙O于E，根据垂径定理可知弧AE= 2弧 A C ，AE=2AD，借助条件可得弧AE=弧AB，根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等即有AB=AE，据此可证。
14．【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°，∴∠PEA=∠APE=45°，
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，同理AP=AE，又∵∠CAB=∠PAE=90°，∴∠CAP=∠BAE，∴△CPA≌△BAE，
∴CP=BE，
在Rt△BPE中，∠PBE=90°，PE=2，
∴PB2+BE2=PE2，∴CP2+PB2=PE2=4.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC=45°，由同弧所对的圆周角相等∠PEA=∠ABC=45°又知，再根据直径所对的圆周角是直角，即可判断△APE是等腰直角三角形；
（2）连接BE，由△ABC、 △APE都是等腰直角三角形，利用SAS可得△CPA≌△BAE，从而有CP=BE，再在Rt△BPE中利用勾股定理即可求解。
15．【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径 C是 的中点
（2）解： C是 的中点
BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得
在Rt△ACE中，AE= .
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余，借助同角的余角相等可得∠CAB=∠BCE，再根据等弧或同弧所对的圆周角相等∠DBC=∠CDB=∠CAB，故有∠BCE=∠DBC，从而得CF=BF；
（2）根据同圆或等圆中等弧对等弦可知 BC=CD=6，利用勾股定理可得AB=10，借助面积法可求出CE，再根据勾股定理即可得到AE的长。
1 / 1人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习
一、选择题
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
2．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26° B．64° C．52° D．128°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且 ，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠ABC=34°，
∵ ，
∴2∠ABC=∠COE=68°，
又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．
故答案为：C．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余可知∠ABC=34°，再利用等弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，可得∠COE=68°，最后借助四边形内角和等于360°即可求解。
5．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题都是真命题
B．在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等
C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：真命题的逆命题不一定都是真命题，A错误，不符合题意；
在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，B错误，不符合题意；
等边三角形的高线、中线、角平分线互相重合，C错误，不符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据原命题与逆命题的关系、等腰三角形的三线合一、矩形的判定、圆心角弧弦的关系，逐个判断即可。
6．如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等可得AB=AC，从而利用等边对等角有∠B=∠C，再借助三角形内角和即可解答。
7．点A．C为半径是3的圆周上两点，点B为 的中点，以线段BA．BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A． 或2 B． 或2 C． 或2 D． 或2
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD= ×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE= BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE= = ，
∴边CD= = ；
如图②，BD= ×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE= = =2 ，
∴边CD= = =2 ．
故答案为：D．
【分析】由顶点D恰在该圆直径的三等分点上，分两种情况求解：过B作直径，连接AC交AO于E，当BD= ×2×3=2时，根据菱形对角线垂直平分可知DE =1，而OD=OB﹣BD=1，从而得OE=2，再两次利用勾股定理先求出CE，后即可求出边CD；当BD= ×2×3=4，类比前面的过程和方法即可。
二、填空题
8．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数= ×360°=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据圆心角的度数与所对弧的度数相等即可解答。
9．如图，已知AB，CD是☉O的直径， = ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴∠AOE=∠COA；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64
【分析】根据在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等，即可解答。
10．已知弦AB与CD交于点E，弧 的度数比弧 的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB= （用关于m的代数式表示）．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵弧BC与AD的度数之差为20°，
∴∠CAB﹣∠C= ×20°=10°，......①
∵∠CEB=∠CAB+∠C=m°，......②
∴联立①②解得∠CAB= ．
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可知∠CAB﹣∠C =10°，再利用三角形外角的性质联立方程组即可表示∠CAB。
11．（2016九上·杭州期中）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC= 度．
【答案】120
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．
∴OD= OE，AD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OD= BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．
故答案为：120．
【分析】过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．根据垂径定理可得OD= OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD= BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
12．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α= 度．
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB= ，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．
故答案为：75.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据勾股定理的逆定理和同圆半径相等，可知△AOB是等腰直角三角形、△COD是等边三角形，从而有∠OBA=45°、∠ODC=60°，又由同弧所对的圆周角相等、同圆半径相等可得∠CDB=∠CAB、∠ODB=∠OBD，最后利用三角形内角和即可求出α。
三、解答题
13．如图，在⊙O中， =2 ，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【答案】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴ ，AE=2AD，∵ ，∴ ，∴AB=AE，∴AB=2AD．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】延长AD交⊙O于E，根据垂径定理可知弧AE= 2弧 A C ，AE=2AD，借助条件可得弧AE=弧AB，根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等即有AB=AE，据此可证。
14．如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径。
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°，∴∠PEA=∠APE=45°，
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，同理AP=AE，又∵∠CAB=∠PAE=90°，∴∠CAP=∠BAE，∴△CPA≌△BAE，
∴CP=BE，
在Rt△BPE中，∠PBE=90°，PE=2，
∴PB2+BE2=PE2，∴CP2+PB2=PE2=4.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC=45°，由同弧所对的圆周角相等∠PEA=∠ABC=45°又知，再根据直径所对的圆周角是直角，即可判断△APE是等腰直角三角形；
（2）连接BE，由△ABC、 △APE都是等腰直角三角形，利用SAS可得△CPA≌△BAE，从而有CP=BE，再在Rt△BPE中利用勾股定理即可求解。
15．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF
（2）若CD=6，CA=8，求AE的长
【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径 C是 的中点
（2）解： C是 的中点
BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得
在Rt△ACE中，AE= .
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余，借助同角的余角相等可得∠CAB=∠BCE，再根据等弧或同弧所对的圆周角相等∠DBC=∠CDB=∠CAB，故有∠BCE=∠DBC，从而得CF=BF；
（2）根据同圆或等圆中等弧对等弦可知 BC=CD=6，利用勾股定理可得AB=10，借助面积法可求出CE，再根据勾股定理即可得到AE的长。
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