2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.1 任意角和弧度制 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·黄浦期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
2．（2023高一下·杭州期末） 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： ∵1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，
∴角α=1000密位时，．
故选：C．
【分析】 由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可求得α的解．
3．（2023高一下·湖口期中）若是第四象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：因为 是第四象限角，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以是第三象限角.
故选：C
【分析】由 是第四象限角得到 的范围，再计算 的范围，即可得到 所在的象限.
4．（2023高一下·卧龙月考）已知角2022°，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】任意角；象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】因为，
所以角与222°角的终边相同，
222°角的终边在第三象限，所以角的终边落在第三象限，
故答案是：C.
【分析】利用终边相同的角和象限角求解。
5．（2023·深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
6．（2023高三下·黔东南模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解.
7．（2023高一下·浦东期末） 下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】A、与终边相同角可以表示为，与不一定相等，A错误；
B、 锐角是取值范围为的角，是第一象限的角， B正确；
C、 第二象限角取值范围为，锐角是取值范围为的角，C错误；
D、锐角是取值范围为的角， 但，不是锐角，D错误.
故答案为：B
【分析】根据象限角和终边相同角的定义逐一判断选项.
8．（2023·广西模拟）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用扇形圆心角弧度数与弧长，扇形所在圆的半径之间的关系，即可求解出答案.
9．（2023·嘉兴模拟）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故答案为：B.
【分析】利用的圆心角所对应的弧长是，的圆心角所对的弧长为：，计算可得答案.
10．（2023·模拟）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为，
设圆柱高为h，则，，
由题，，得.
故答案为：D.
【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.
二、多项选择题
11．（2023高一下·孝感开学考）下列命题正确的是（ ）
A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角
C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角
【答案】C,D
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，A不符合题意；
对于B，如小于，不是锐角，B不符合题意；
对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，C符合题意；
对于D，钝角为的角，是第二象限角，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据象限角的定义逐项进行判断，可得答案 .
12．（2022高一上·柳州月考）与终边相同的角有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故答案为：BCD.
【分析】根据终边相同的角，相差的整数倍进行判断，可得答案.
13．（2022高一上·杭州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1
B．若是第二象限角，则是第一象限角
C．，
D．命题：，的否定是：，
【答案】C,D
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题；象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】对于A项，由已知可得，扇形面积，A项错误；
对于B项，由已知可得，，
所以，.
当为偶数时，设，则，，则为第一象限角；
当为奇数时，设，则，，则为第三象限角.
综上所述，是第一象限角或第三象限角，B不符合题意；
对于C项，因为在R上恒成立，C项正确；
对于D项，命题：，的否定是：，，D项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式、象限角的判断方法、恒成立问题求解方法、全称命题与特称命题互为否定的关系，进而找出说法正确的选项。
14．（2022高一上·保定月考）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A． B．弧长
C．扇形的周长为 D．扇形的面积为
【答案】B,C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】，所以A不符合题意；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化，扇形的弧长与面积公式，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
15．（2023高一下·达州期末）已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：，，当且仅当，即时取等.
故答案为：4.
【分析】将弧长用半径表示，代入 结合基本不等式求最小值.
16．（2023高一下·浦东期末） 角是第 象限角.
【答案】三
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】 ，又在第三象限，在第三象限.
故答案为：三
【分析】由即可判断.
17．（2023高一下·浙江期中）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为 cm．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形半径为，则扇形面积，解得，弧长为.
故答案为：
【分析】结合扇形面积利用弧长计算公式求解。
18．（2023高一下·钦州月考）若，则与有相同终边的最小正角 ．
【答案】222°
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为2022°=5×360°+222°，
所以与2022°终边相同的最小正角是222° .
故答案为： 222°
【分析】由2022°=5×360°+222°即可得答案.
19．（2023高一下·钦州月考）在范围内，与终边相同的角是 ．
【答案】150°
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】与-930°角终边相同的角是-930°+k·360° ，k∈Z ，
当k=3时为150° ，在 范围内，与-930°角终边相同的角是150° ．
故答案为： 150°
【分析】与-930°角终边相同的角是-930°+k·360° ，k∈Z ，k=3时满足条件，得到答案.
20．（2023高一下·上饶期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知：“一个周期”的轨迹为：点A先以2为半径绕点B顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，
如图所示，其轨迹图如图所示，所以路径长度为.
故答案为：.
【分析】根据题意作出相应的轨迹图，结合弧长公式运算求解可得.
21．（2023高一下·浦东期末） 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】 设扇形的圆心角为，圆的半径为，则，，
，解得.
故答案为：
【分析】根据扇形面积公式，直接代入计算.
四、解答题
22．（2023高一下·钦州月考）已知.
（1）写出与角终边相同的角的集合；
（2）写出在内与角终边相同的角.
【答案】（1） 解：与角α终边相同的角的集合为 .
（2）解： 令 ，得 .
又k∈Z ，∴k=-2，-1，0，
∴在内与角终边相同的角为： ， ， .
【知识点】终边相同的角
【解析】【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.
（2）由（1）结论，可得 ，解出k的值，即可得到答案.
23．（2023高一下·钦州月考）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合
（1）
（2）
【答案】（1）解： 解：由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 .
（2）解： 由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 = .
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
24．（2023高一下·钦州月考）若，，试确定，分别是第几象限角．
【答案】解：由 ，，得： ，，所以2α为第一象限角；
由得： ，
当k=2n，n∈Z时， ，则为第一象限角；
当k=2n+1，n∈Z时， ，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】分别求得和，根据对k的取值的讨论可求得结果.
25．（2023高一下·钦州月考）已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
【答案】（1）解：集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）解：令-360°<30°+k·90°<360° ，得 ，
又k∈Z ，所以终边不相同的角，所以集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个，
分别是：－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）解：集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以 ， .
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】
【分析】(1)集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；
(2)取适当的整数即可得到指定范围内的角；
(3)找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一5.1 任意角和弧度制 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·黄浦期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2023高一下·杭州期末） 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·湖口期中）若是第四象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（2023高一下·卧龙月考）已知角2022°，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023·深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三下·黔东南模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·浦东期末） 下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
8．（2023·广西模拟）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·嘉兴模拟）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
10．（2023·模拟）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2023高一下·孝感开学考）下列命题正确的是（ ）
A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角
C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角
12．（2022高一上·柳州月考）与终边相同的角有（ ）
A． B． C． D．
13．（2022高一上·杭州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1
B．若是第二象限角，则是第一象限角
C．，
D．命题：，的否定是：，
14．（2022高一上·保定月考）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A． B．弧长
C．扇形的周长为 D．扇形的面积为
三、填空题
15．（2023高一下·达州期末）已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则的最小值为 ．
16．（2023高一下·浦东期末） 角是第 象限角.
17．（2023高一下·浙江期中）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为 cm．
18．（2023高一下·钦州月考）若，则与有相同终边的最小正角 ．
19．（2023高一下·钦州月考）在范围内，与终边相同的角是 ．
20．（2023高一下·上饶期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 .
21．（2023高一下·浦东期末） 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
四、解答题
22．（2023高一下·钦州月考）已知.
（1）写出与角终边相同的角的集合；
（2）写出在内与角终边相同的角.
23．（2023高一下·钦州月考）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合
（1）
（2）
24．（2023高一下·钦州月考）若，，试确定，分别是第几象限角．
25．（2023高一下·钦州月考）已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
2．【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： ∵1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，
∴角α=1000密位时，．
故选：C．
【分析】 由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可求得α的解．
3．【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：因为 是第四象限角，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以是第三象限角.
故选：C
【分析】由 是第四象限角得到 的范围，再计算 的范围，即可得到 所在的象限.
4．【答案】C
【知识点】任意角；象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】因为，
所以角与222°角的终边相同，
222°角的终边在第三象限，所以角的终边落在第三象限，
故答案是：C.
【分析】利用终边相同的角和象限角求解。
5．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解.
7．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】A、与终边相同角可以表示为，与不一定相等，A错误；
B、 锐角是取值范围为的角，是第一象限的角， B正确；
C、 第二象限角取值范围为，锐角是取值范围为的角，C错误；
D、锐角是取值范围为的角， 但，不是锐角，D错误.
故答案为：B
【分析】根据象限角和终边相同角的定义逐一判断选项.
8．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故答案为：B.
【分析】利用扇形圆心角弧度数与弧长，扇形所在圆的半径之间的关系，即可求解出答案.
9．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故答案为：B.
【分析】利用的圆心角所对应的弧长是，的圆心角所对的弧长为：，计算可得答案.
10．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为，
设圆柱高为h，则，，
由题，，得.
故答案为：D.
【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.
11．【答案】C,D
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，A不符合题意；
对于B，如小于，不是锐角，B不符合题意；
对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，C符合题意；
对于D，钝角为的角，是第二象限角，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据象限角的定义逐项进行判断，可得答案 .
12．【答案】B,C,D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故答案为：BCD.
【分析】根据终边相同的角，相差的整数倍进行判断，可得答案.
13．【答案】C,D
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题；象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】对于A项，由已知可得，扇形面积，A项错误；
对于B项，由已知可得，，
所以，.
当为偶数时，设，则，，则为第一象限角；
当为奇数时，设，则，，则为第三象限角.
综上所述，是第一象限角或第三象限角，B不符合题意；
对于C项，因为在R上恒成立，C项正确；
对于D项，命题：，的否定是：，，D项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式、象限角的判断方法、恒成立问题求解方法、全称命题与特称命题互为否定的关系，进而找出说法正确的选项。
14．【答案】B,C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】，所以A不符合题意；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化，扇形的弧长与面积公式，逐项进行判断，可得答案.
15．【答案】4
【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：，，当且仅当，即时取等.
故答案为：4.
【分析】将弧长用半径表示，代入 结合基本不等式求最小值.
16．【答案】三
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】 ，又在第三象限，在第三象限.
故答案为：三
【分析】由即可判断.
17．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形半径为，则扇形面积，解得，弧长为.
故答案为：
【分析】结合扇形面积利用弧长计算公式求解。
18．【答案】222°
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为2022°=5×360°+222°，
所以与2022°终边相同的最小正角是222° .
故答案为： 222°
【分析】由2022°=5×360°+222°即可得答案.
19．【答案】150°
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】与-930°角终边相同的角是-930°+k·360° ，k∈Z ，
当k=3时为150° ，在 范围内，与-930°角终边相同的角是150° ．
故答案为： 150°
【分析】与-930°角终边相同的角是-930°+k·360° ，k∈Z ，k=3时满足条件，得到答案.
20．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知：“一个周期”的轨迹为：点A先以2为半径绕点B顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，
如图所示，其轨迹图如图所示，所以路径长度为.
故答案为：.
【分析】根据题意作出相应的轨迹图，结合弧长公式运算求解可得.
21．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】 设扇形的圆心角为，圆的半径为，则，，
，解得.
故答案为：
【分析】根据扇形面积公式，直接代入计算.
22．【答案】（1） 解：与角α终边相同的角的集合为 .
（2）解： 令 ，得 .
又k∈Z ，∴k=-2，-1，0，
∴在内与角终边相同的角为： ， ， .
【知识点】终边相同的角
【解析】【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.
（2）由（1）结论，可得 ，解出k的值，即可得到答案.
23．【答案】（1）解： 解：由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 .
（2）解： 由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 = .
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
24．【答案】解：由 ，，得： ，，所以2α为第一象限角；
由得： ，
当k=2n，n∈Z时， ，则为第一象限角；
当k=2n+1，n∈Z时， ，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】分别求得和，根据对k的取值的讨论可求得结果.
25．【答案】（1）解：集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）解：令-360°<30°+k·90°<360° ，得 ，
又k∈Z ，所以终边不相同的角，所以集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个，
分别是：－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）解：集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以 ， .
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】
【分析】(1)集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；
(2)取适当的整数即可得到指定范围内的角；
(3)找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.
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