2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.4 三角函数的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·浦东期末） “，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】充分性：，，则，充分性成立，
必要性：若 ，则，，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用正切函数周期判断充分性和必要性.
2．（2023高一下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解： ，求得 ，，求得 ，
，，
.
故答案为：B.
【分析】先分别求出和的解，再求 .
3．（2023高二下·温州期末）函数的大致图象为
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴为偶函数，排除选项AC ，
∵当x取无穷大时趋近1，最大值为1，
∴函数最大值不能超过1，
故选：D.
【分析】确定函数的奇偶性，排除AC，再根据函数的取值确定函数图象.
4．（2023高二下·宁波期末） 已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵已知，并且，
∴的终边在直线上，
故。
故答案为：B
【分析】根据，并且可知的终边在直线上，进而得到的值
5．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，
，即，，
.
故选：D
【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.
6．（2023高一下·安徽期中）已知函数为正整数，在区间上单调，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以，解得.又，所以.
故答案为：B
【分析】由题意利用正弦型函数图象与性质可得的图象的一条对称轴为直线，求解出.又，即可求出 的值.
7．（2023·攀枝花模拟）已知函数对任意都有，则当取到最大值时，图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】，，
，
，
，
，所以的最大值为，
当时，令，
解得，
当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.
故答案为：A
【分析】先根据 得到，结合 ，得到的范围，求出的范围， 进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，可得答案.
8．（2023高一下·湖口期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为对任意，都存在，使得， 成立，
所以 ，即 ，
又f（x）=sinx，，
∴f（x1）∈[0，1]，
所以，
所以 f（x2+θ）的值域包含，
所以，
所以 x2+θ∈，
若sin=或sin（θ+）=，则θ=或θ=.
所以 0≤θ≤或 ≤θ≤，
只有符合题意.
故答案为：B.
【分析】
二、多项选择题
9．（2023高一下·金华期末）若函数的图象经过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点为函数图象的对称中心
C．直线为函数图象的对称轴
D．函数的单调增区间为
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由可得函数f(x) 的最小正周期为，故A正确；
由函数的图象经过点 ，得，即，又由得，
故 ，则 ，故B错误；
由得直线为函数图象的对称轴 ，故C正确；
由得
故函数f (x)的单调增区间为 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 先求出f (x)的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2023高一下·深圳月考）已知三角函数，以下对该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数周期为
B．该函数在上单调递增
C．为其一条对称轴
D．将该函数向右平移个单位得到一个奇函数
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A，周期，A正确；
对于B，当x∈ 时，，显然 在上先增后减，B错误；
对于C，，则不是其一条对称轴，C错误；
对于D，将f(x)向右平移个单位得，所得函数是奇函数，D正确.
故选：AD
【分析】根据正弦函数的周期可判断A，根据正弦函数的单调性可判断B，根据正弦函数的对称性可判断C，根据正弦函数的奇偶性结合图象的平移可判断D.
11．（2023高一下·浙江期中）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】A、 ，在单调递增， ，即 ，A正确；
B、 在单调递增，又， ，B错误；
C、 ，，在单调递增，又， ，即 ，C正确；
D、 ，，在单调递增，又， ，D错误.
故答案为：AC
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性和周期逐一判断选项。
12．（2023·广州模拟）已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上的图像与直线没有交点
C．在上没有对称轴
D．在上有一个零点
【答案】B,C,D
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：图像上相邻的两个最高点之间的距离为 ，
可得 ， 则 ，
因 在上是单调函数，
则 ，
所以 ， ，
则 ，
又 ，则 ，A正确；
因为函数周期为 ，
所以在 上的图像与直线y=1必有交点，B错；
因为 ，所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；
因为 ，则 ，
，
当 时， ，
所以f(x)在 上的图像都在 轴下方，D错.
故选：BCD
【分析】根据已知得出，则，后根据余弦函数的图象和性质，即可逐一判断选项.
13．（2023·深圳模拟）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，取得最大值
C．当时，的单调递增区间为
D．当时，有且只有两个零点和
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由图得，且位于增区间上，
所以，又因为，所以，
，
则，得，所以，
所以，
由图可知，原点右侧的第二个零点为，
所以的定义域为，A不符合题意；
当时，，
因为为最大值，则当时，取得最大值，B符合题意；
当时，令，则，
又因为，
所以当时，的减区间为，
因为函数为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，C符合题意；
当时，，令，
得或，则或，
因为函数为偶函数，
所以当时，有且只有两个零点和，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为即可判断A ；求出的值即可判断B ；求出当x>0时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C ；求出当x>0时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.
14．（2023高一下·承德期中）已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．
【答案】A,B,C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数的大致图象，如下图示，
由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，A，B，C符合题意，
又，
所以，D不符合题意．
故答案为：ABC.
【分析】根据正切函数性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求，判断D.
15．（2023高一下·广东月考）已知函数的图象经过点，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．的定义域为
D．不等式的解集为，
【答案】B,D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，由题知，则，因为，所以，A不符合题意；
对于B，的最小正周期，B符合题意；
对于C，令，，则，，
所以的定义域为，C不符合题意；
对于D，令，则，
得，，即，，
所以不等式的解集为，，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】由已知条件求出，可判断A；再利用正切函数的周期性可判断B；根据正切函数的定义域可判断C；利用正切函数的单调性可判断D.
16．（2023高一下·南山月考）函数的最小正周期为，，下列说法正确的是（ ）
A．的一个零点为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的一条对称轴为
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由函数的最小正周期为，
得，得，
又，
，
即，
得，
故，
因为，
A符合题意；
又，
B符合题意；
当，
所以在区间不单调；
C不正确；
由，
D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】 由函数的周期求出的值，再由为可得，由此求出φ的值，进而可以求出函数f (x)的解析式，然后逐项进行判断，可得答案.
17．（2023·昭通模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．直线是的一条对称轴
C．点是的一个对称中心
D．在区间上单调递减
【答案】A,B
【知识点】函数单调性的判断与证明；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A， ，所以最小正周期 ，正确；
对于B，将 代入函数解析式得： ，
所以是一条对称轴，正确；
对于C，因为 可以看作是函数 向上平移2个单位后的函数，所以对称中心的纵坐标不可能是0，错误；
对于D，当 时， ，刚好是函数 的一个周期 ，不可能是单调的函数，错误；
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象求出对称中心和对称轴、正弦型函数的图象判断其单调性的方法，进而找出说法正确的选项。
18．（2023高一下·安徽期中）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；诱导公式
【解析】【解答】当时，，，
对于A选项，，且，
所以，，
因为函数在上为增函数，故，A对；
对于B选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为函数在上单调递增，
且，，
所以，存在，使得，则，
此时，，C不符合题意；
对于D选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，D对.
故答案为：ABD.
【分析】 利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断B、D；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C.
三、填空题
19．（2023高一下·绍兴月考）函数的最小正周期是 .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解： 最小正周期为.
故答案为：π.
【分析】 根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得到答案.
20．（2023高一下·德州月考）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数的最小正周期为，故答案为：.
【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.
21．（2023高二下·河北期末）已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ．
【答案】或2
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数的图像关于点对称得 ，即，解得，
当时，，函数在区间上单调，，解得，
当时，，当时，，
故答案为：或2.
【分析】根据三角函数对称性得，结合在区间上单调求出范围，进而得到的值.
22．（2023高一下·黄浦期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，其终边过点，
所以，
因为是第一象限的角，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以函数的值域为，
故答案为：.
【分析】先根据题意结合任意角三角函数的定义求出，代入化简可得，然后由求出，再结合正弦函数的性质可求出其范围.
23．（2023高一下·湖口期中）设函数，则 .
【答案】0
【知识点】函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015)
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
故答案为：0.
【分析】根据题意得到函数周期为6，通过周期化简式子得到原式等于335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)，代入函数解析式求解即可.
24．（2023·安康模拟）已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是 .
【答案】1或3或5或7（写出其中一个即可）
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数的图象关于对称，可得，
解得，所以，
又因为在区间上单调，可得，
结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或或或.
故答案为： 1或3或5或7（写出其中一个即可） .
【分析】 由f (x)的图象关于对称，求得，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解出答案.
四、解答题
25．（2023·江苏会考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，最小正周期.
（2）解：，即，
设，，，
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故；
当时，不等式恒成立；
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故.
综上所述：，即
【知识点】基本不等式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）确定，再计算周期即可.
（2）设 ，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
26．（2023高一下·孝感开学考）已知函数， .
（1）求的最大值和对应的取值；
（2）求在的单调递增区间.
【答案】（1）解：因为，，函数取最大值满足：，，可得，，
当，时，函数有最大值 ；
（2）解：函数在上的增区间满足：，，可得，，
又，函数的单增区间为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据正弦函数的图象和性质即可得 的最大值和对应的取值；
(2)根据正弦函数的单调性结合已知条件即可得 在的单调递增区间.
27．（2023高一上·单县期末）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
【答案】（1）解：的最小正周期.
令，解得，，此时时，单调递减，
的单调递减区间是，；
（2）解：，则，
故，，
，此时，即，即；
，此时，即，即.
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据余弦型函数的最小正周期公式，递增区间直接求解即可得函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)由(1)可得函数的单调区间，再分别求出最大值和最小值即可.
28．（2023高一上·宝安期末）已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
【答案】（1）解：的最大值为1，
，解得：．
（2）解：由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：，．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
（3）解：由题意：，即，可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范围是．
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据正弦的性质，结合题意，列出方程，即可求解；
（2） 由（1）得到，根据正弦函数的图象与性质，即可求得的单调递减区间；
（3） 由，得到结合正弦函数的性质，即可求解.
29．（2023高一上·榆林期末）已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递减区间；
（2）求不等式在上的解集．
【答案】（1）解：由题意得．
由，得，
所以的单调递减区间为
（2）解：由，得，
得，得，
因为，所以，
故不等式在上的解集为．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1） 由题意得，由正弦函数的单调性得，求解即可；
（2）由已知得， 由正弦函数的性质得，结合 ，计算求解即可.
30．（2023高一上·汉滨期末）已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）解：是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)将的值代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出函数的最大值和最小值；
(2)通过配方求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出 的取值范围．
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一5.4 三角函数的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·浦东期末） “，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023高一下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·温州期末）函数的大致图象为
A． B．
C． D．
4．（2023高二下·宁波期末） 已知，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·安徽期中）已知函数为正整数，在区间上单调，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·攀枝花模拟）已知函数对任意都有，则当取到最大值时，图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·湖口期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高一下·金华期末）若函数的图象经过点，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点为函数图象的对称中心
C．直线为函数图象的对称轴
D．函数的单调增区间为
10．（2023高一下·深圳月考）已知三角函数，以下对该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数周期为
B．该函数在上单调递增
C．为其一条对称轴
D．将该函数向右平移个单位得到一个奇函数
11．（2023高一下·浙江期中）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·广州模拟）已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上的图像与直线没有交点
C．在上没有对称轴
D．在上有一个零点
13．（2023·深圳模拟）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，取得最大值
C．当时，的单调递增区间为
D．当时，有且只有两个零点和
14．（2023高一下·承德期中）已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．
15．（2023高一下·广东月考）已知函数的图象经过点，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．的定义域为
D．不等式的解集为，
16．（2023高一下·南山月考）函数的最小正周期为，，下列说法正确的是（ ）
A．的一个零点为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的一条对称轴为
17．（2023·昭通模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．直线是的一条对称轴
C．点是的一个对称中心
D．在区间上单调递减
18．（2023高一下·安徽期中）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
19．（2023高一下·绍兴月考）函数的最小正周期是 .
20．（2023高一下·德州月考）函数的最小正周期为 ．
21．（2023高二下·河北期末）已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ．
22．（2023高一下·黄浦期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 ．
23．（2023高一下·湖口期中）设函数，则 .
24．（2023·安康模拟）已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是 .
四、解答题
25．（2023·江苏会考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求实数的取值范围.
26．（2023高一下·孝感开学考）已知函数， .
（1）求的最大值和对应的取值；
（2）求在的单调递增区间.
27．（2023高一上·单县期末）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
28．（2023高一上·宝安期末）已知函数的最大值为1，
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
29．（2023高一上·榆林期末）已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递减区间；
（2）求不等式在上的解集．
30．（2023高一上·汉滨期末）已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】充分性：，，则，充分性成立，
必要性：若 ，则，，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用正切函数周期判断充分性和必要性.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；正弦函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解： ，求得 ，，求得 ，
，，
.
故答案为：B.
【分析】先分别求出和的解，再求 .
3．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴为偶函数，排除选项AC ，
∵当x取无穷大时趋近1，最大值为1，
∴函数最大值不能超过1，
故选：D.
【分析】确定函数的奇偶性，排除AC，再根据函数的取值确定函数图象.
4．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵已知，并且，
∴的终边在直线上，
故。
故答案为：B
【分析】根据，并且可知的终边在直线上，进而得到的值
5．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，
，即，，
.
故选：D
【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.
6．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】设的最小正周期为.由题可得，故，又为正整数，所以.因为，所以的图象的一条对称轴为直线.所以，解得.又，所以.
故答案为：B
【分析】由题意利用正弦型函数图象与性质可得的图象的一条对称轴为直线，求解出.又，即可求出 的值.
7．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】，，
，
，
，
，所以的最大值为，
当时，令，
解得，
当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.
故答案为：A
【分析】先根据 得到，结合 ，得到的范围，求出的范围， 进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，可得答案.
8．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为对任意，都存在，使得， 成立，
所以 ，即 ，
又f（x）=sinx，，
∴f（x1）∈[0，1]，
所以，
所以 f（x2+θ）的值域包含，
所以，
所以 x2+θ∈，
若sin=或sin（θ+）=，则θ=或θ=.
所以 0≤θ≤或 ≤θ≤，
只有符合题意.
故答案为：B.
【分析】
9．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由可得函数f(x) 的最小正周期为，故A正确；
由函数的图象经过点 ，得，即，又由得，
故 ，则 ，故B错误；
由得直线为函数图象的对称轴 ，故C正确；
由得
故函数f (x)的单调增区间为 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】 先求出f (x)的解析式，然后根据正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A，周期，A正确；
对于B，当x∈ 时，，显然 在上先增后减，B错误；
对于C，，则不是其一条对称轴，C错误；
对于D，将f(x)向右平移个单位得，所得函数是奇函数，D正确.
故选：AD
【分析】根据正弦函数的周期可判断A，根据正弦函数的单调性可判断B，根据正弦函数的对称性可判断C，根据正弦函数的奇偶性结合图象的平移可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】A、 ，在单调递增， ，即 ，A正确；
B、 在单调递增，又， ，B错误；
C、 ，，在单调递增，又， ，即 ，C正确；
D、 ，，在单调递增，又， ，D错误.
故答案为：AC
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性和周期逐一判断选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：图像上相邻的两个最高点之间的距离为 ，
可得 ， 则 ，
因 在上是单调函数，
则 ，
所以 ， ，
则 ，
又 ，则 ，A正确；
因为函数周期为 ，
所以在 上的图像与直线y=1必有交点，B错；
因为 ，所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；
因为 ，则 ，
，
当 时， ，
所以f(x)在 上的图像都在 轴下方，D错.
故选：BCD
【分析】根据已知得出，则，后根据余弦函数的图象和性质，即可逐一判断选项.
13．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由图得，且位于增区间上，
所以，又因为，所以，
，
则，得，所以，
所以，
由图可知，原点右侧的第二个零点为，
所以的定义域为，A不符合题意；
当时，，
因为为最大值，则当时，取得最大值，B符合题意；
当时，令，则，
又因为，
所以当时，的减区间为，
因为函数为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，C符合题意；
当时，，令，
得或，则或，
因为函数为偶函数，
所以当时，有且只有两个零点和，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为即可判断A ；求出的值即可判断B ；求出当x>0时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C ；求出当x>0时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.
14．【答案】A,B,C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数的大致图象，如下图示，
由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，A，B，C符合题意，
又，
所以，D不符合题意．
故答案为：ABC.
【分析】根据正切函数性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求，判断D.
15．【答案】B,D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，由题知，则，因为，所以，A不符合题意；
对于B，的最小正周期，B符合题意；
对于C，令，，则，，
所以的定义域为，C不符合题意；
对于D，令，则，
得，，即，，
所以不等式的解集为，，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】由已知条件求出，可判断A；再利用正切函数的周期性可判断B；根据正切函数的定义域可判断C；利用正切函数的单调性可判断D.
16．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由函数的最小正周期为，
得，得，
又，
，
即，
得，
故，
因为，
A符合题意；
又，
B符合题意；
当，
所以在区间不单调；
C不正确；
由，
D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】 由函数的周期求出的值，再由为可得，由此求出φ的值，进而可以求出函数f (x)的解析式，然后逐项进行判断，可得答案.
17．【答案】A,B
【知识点】函数单调性的判断与证明；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A， ，所以最小正周期 ，正确；
对于B，将 代入函数解析式得： ，
所以是一条对称轴，正确；
对于C，因为 可以看作是函数 向上平移2个单位后的函数，所以对称中心的纵坐标不可能是0，错误；
对于D，当 时， ，刚好是函数 的一个周期 ，不可能是单调的函数，错误；
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象求出对称中心和对称轴、正弦型函数的图象判断其单调性的方法，进而找出说法正确的选项。
18．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；诱导公式
【解析】【解答】当时，，，
对于A选项，，且，
所以，，
因为函数在上为增函数，故，A对；
对于B选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为函数在上单调递增，
且，，
所以，存在，使得，则，
此时，，C不符合题意；
对于D选项，因为，则，
因为，即，
因为函数在上为增函数，则，D对.
故答案为：ABD.
【分析】 利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断B、D；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C.
19．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解： 最小正周期为.
故答案为：π.
【分析】 根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得到答案.
20．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数的最小正周期为，故答案为：.
【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.
21．【答案】或2
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数的图像关于点对称得 ，即，解得，
当时，，函数在区间上单调，，解得，
当时，，当时，，
故答案为：或2.
【分析】根据三角函数对称性得，结合在区间上单调求出范围，进而得到的值.
22．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，其终边过点，
所以，
因为是第一象限的角，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以函数的值域为，
故答案为：.
【分析】先根据题意结合任意角三角函数的定义求出，代入化简可得，然后由求出，再结合正弦函数的性质可求出其范围.
23．【答案】0
【知识点】函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015)
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
故答案为：0.
【分析】根据题意得到函数周期为6，通过周期化简式子得到原式等于335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)，代入函数解析式求解即可.
24．【答案】1或3或5或7（写出其中一个即可）
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数的图象关于对称，可得，
解得，所以，
又因为在区间上单调，可得，
结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或或或.
故答案为： 1或3或5或7（写出其中一个即可） .
【分析】 由f (x)的图象关于对称，求得，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解出答案.
25．【答案】（1）解：，最小正周期.
（2）解：，即，
设，，，
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故；
当时，不等式恒成立；
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故.
综上所述：，即
【知识点】基本不等式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）确定，再计算周期即可.
（2）设 ，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
26．【答案】（1）解：因为，，函数取最大值满足：，，可得，，
当，时，函数有最大值 ；
（2）解：函数在上的增区间满足：，，可得，，
又，函数的单增区间为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据正弦函数的图象和性质即可得 的最大值和对应的取值；
(2)根据正弦函数的单调性结合已知条件即可得 在的单调递增区间.
27．【答案】（1）解：的最小正周期.
令，解得，，此时时，单调递减，
的单调递减区间是，；
（2）解：，则，
故，，
，此时，即，即；
，此时，即，即.
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据余弦型函数的最小正周期公式，递增区间直接求解即可得函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)由(1)可得函数的单调区间，再分别求出最大值和最小值即可.
28．【答案】（1）解：的最大值为1，
，解得：．
（2）解：由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：，．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
（3）解：由题意：，即，可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范围是．
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据正弦的性质，结合题意，列出方程，即可求解；
（2） 由（1）得到，根据正弦函数的图象与性质，即可求得的单调递减区间；
（3） 由，得到结合正弦函数的性质，即可求解.
29．【答案】（1）解：由题意得．
由，得，
所以的单调递减区间为
（2）解：由，得，
得，得，
因为，所以，
故不等式在上的解集为．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1） 由题意得，由正弦函数的单调性得，求解即可；
（2）由已知得， 由正弦函数的性质得，结合 ，计算求解即可.
30．【答案】（1）解：当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）解：是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)将的值代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出函数的最大值和最小值；
(2)通过配方求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出 的取值范围．
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