2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.3 诱导公式 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·宁波期末）在平面直角坐标系中，若角以轴的非负半轴为始边，且终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题意得， .
故答案为：A
【分析】由题意得，再利用诱导公式求 的值 .
2．（2023高一下·深圳月考）若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：D.
【分析】先由诱导公式与同角的平方和关系求得sinα，cosα，再代入同角的商数关系求得tanα.
3．已知，则的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】，故选B.
【分析】主要考查诱导公式和弦化切.
4．（2023高一下·浙江期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可求出答案.
5．（2023高一下·南阳期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
6．（2023高一下·定远期末）若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为 ，，
所以，，
所以 .
故选：B.
【分析】根据条件与诱导公式求得，，再对 化简求值可得答案.
7．（2023高一下·浙江期中）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】利用 ，则
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合角之间的关系式和诱导公式，进而得出 的值 。
二、多项选择题
8．（2023高一上·惠来期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】角的终边与单位圆的交点为
则，则A判断正确；
所以，则B判断正确；
，则C判断错误；
，则D判断错误.
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和诱导公式，进而找出正确的选项。
9．（2023高一上·青岛期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，则，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.
10．（2022高一下·化州期中）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．
D．若角的终边过点，则
【答案】B,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】A选项，是第二象限角，A不符合题意；
B选项，扇形的半径为，面积为，B符合题意；
C选项，，，C不符合题意．
D选项，，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、扇形的弧长公式和扇形的面积公式、诱导公式、余弦函数的定义，进而找出正确的结论。
11．（2023高一上·嵩明期末）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而找出正确的选项。
12．（2023高一上·河北期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，则，
因为，所以，，
所以，A符合题意；
所以，
所以，D符合题意；
联立，可得，，B符合题意；
所以，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由题意得，可得，根据，可得，，即可判断A的正误；求得，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
13．（2022高一上·河南月考）下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
由于，所以，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、均值不等式求最值的方法，进而找出值为1的选项。
14．（2022高一上·宝鸡月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，.
故答案为：ABD.
【分析】利用诱导公式和分数指数幂与根式的互化，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
15．（2023高一下·黄浦期末）若，则 ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以原式，
故答案为： 4.
【分析】用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.
16．已知，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为，，则，
所以，
故填
【分析】此题考查诱导公式和三角函数的基本关系，由正弦可以求出余弦，再利用诱导公式即可求出结果.
17．（2023高一下·鹤岗开学考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】由诱导公式化简求值即可.
18．（2023高一上·襄阳期末）已知，则 .
【答案】6
【知识点】弦切互化；诱导公式
【解析】【解答】由诱导公式可得，因此，.
故答案为：6.
【分析】先利用诱导公式求得tana的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以cosa，可将所求分式转化为只含tana的代数式，代值计算即可得答案.
19．（2023高一上·西安期末）的值为 ．
【答案】-1
【知识点】终边相同的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，
故答案为：-1
【分析】根据终边相同的角及诱导公式求解.
20．（2022高一上·深圳期末） .
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
21．（2023高一上·湖北期末） ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可得．
故答案为：.
【分析】由诱导公式可得．
22．（2023高一下·浦东期末） 化简 .
【答案】1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：1
【分析】利用三角函数诱导公式化简求解.
23．（2023高一上·青岛期末）已知为坐标原点，点的初始位置坐标为，线段绕点顺时针转动后，点所在位置的坐标为 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】设点在角的终边上，又，则，
线段绕点顺时针转动后，此时点在角的终边上，且，
所以此时点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.
故答案为：
【分析】设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得，再根据题意可知转动后点在角的终边上且，根据诱导公式求出即可.
四、解答题
24．（2023高一下·湖口期中）已知．
（1）化简；
（2）若 是第三象限角，且，求的值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴，
又为第三象限角，
∴，
∴．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出，即可．
25．（2023高一下·深圳月考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由 得 ，
又 ，所以 ，
， ，
所以
（2）解：法一：原式
由（1）得 ， ， ，
所以原式 ．
法二：
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】
（1）先由三角函数的定义求得cosα，再求sinα，并利用诱导公式求得sinβ，cosβ，再切化弦得答案；
（2）法一，利用诱导公式将原式化简得原式= ，再结合（1）的结果代入计算即可得答案；
法二，利用诱导公式以及切化弦将原式化简得原式 ，再结合（1）的结果代入计算即可得答案.
26．（2023高一下·深圳月考）如图，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为角 终边与单位圆相交于点 ，
所以 ，
所以
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】
（1）由任意角的三角函数定义，然后转化为用tanα表示，代入tanα值可得答案；
（2）由垂直关系可得 ， 再利用诱导公式化简，转化为-cosαsinα，代入求值可得答案.
27．（2023高一下·孝感开学考）已知角满足.
（1）求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）解：由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1） 由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，求出 的值，进而分角是第一象限角时和角是第三象限角时两种情况求出的值；
（2）利用诱导公式化简 的值，根据（1）中所求，即可求出 的值.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一5.3 诱导公式 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·宁波期末）在平面直角坐标系中，若角以轴的非负半轴为始边，且终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·深圳月考）若，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．
4．（2023高一下·浙江期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·南阳期中）（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·定远期末）若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·浙江期中）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
8．（2023高一上·惠来期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023高一上·青岛期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一下·化州期中）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．
D．若角的终边过点，则
11．（2023高一上·嵩明期末）（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高一上·河北期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022高一上·河南月考）下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022高一上·宝鸡月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2023高一下·黄浦期末）若，则 ．
16．已知，则 .
17．（2023高一下·鹤岗开学考）已知，则 ．
18．（2023高一上·襄阳期末）已知，则 .
19．（2023高一上·西安期末）的值为 ．
20．（2022高一上·深圳期末） .
21．（2023高一上·湖北期末） ．
22．（2023高一下·浦东期末） 化简 .
23．（2023高一上·青岛期末）已知为坐标原点，点的初始位置坐标为，线段绕点顺时针转动后，点所在位置的坐标为 .
四、解答题
24．（2023高一下·湖口期中）已知．
（1）化简；
（2）若 是第三象限角，且，求的值．
25．（2023高一下·深圳月考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
（1）求；
（2）求的值．
26．（2023高一下·深圳月考）如图，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
27．（2023高一下·孝感开学考）已知角满足.
（1）求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】由题意得， .
故答案为：A
【分析】由题意得，再利用诱导公式求 的值 .
2．【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：D.
【分析】先由诱导公式与同角的平方和关系求得sinα，cosα，再代入同角的商数关系求得tanα.
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；诱导公式
【解析】【解答】，故选B.
【分析】主要考查诱导公式和弦化切.
4．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
6．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为 ，，
所以，，
所以 .
故选：B.
【分析】根据条件与诱导公式求得，，再对 化简求值可得答案.
7．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】利用 ，则
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合角之间的关系式和诱导公式，进而得出 的值 。
8．【答案】A,B
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】角的终边与单位圆的交点为
则，则A判断正确；
所以，则B判断正确；
，则C判断错误；
，则D判断错误.
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和诱导公式，进而找出正确的选项。
9．【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，则，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.
10．【答案】B,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】A选项，是第二象限角，A不符合题意；
B选项，扇形的半径为，面积为，B符合题意；
C选项，，，C不符合题意．
D选项，，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、扇形的弧长公式和扇形的面积公式、诱导公式、余弦函数的定义，进而找出正确的结论。
11．【答案】B,D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合诱导公式，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，则，
因为，所以，，
所以，A符合题意；
所以，
所以，D符合题意；
联立，可得，，B符合题意；
所以，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由题意得，可得，根据，可得，，即可判断A的正误；求得，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
13．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
由于，所以，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、均值不等式求最值的方法，进而找出值为1的选项。
14．【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，.
故答案为：ABD.
【分析】利用诱导公式和分数指数幂与根式的互化，逐项进行判断，可得答案.
15．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以原式，
故答案为： 4.
【分析】用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】因为，，则，
所以，
故填
【分析】此题考查诱导公式和三角函数的基本关系，由正弦可以求出余弦，再利用诱导公式即可求出结果.
17．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】由诱导公式化简求值即可.
18．【答案】6
【知识点】弦切互化；诱导公式
【解析】【解答】由诱导公式可得，因此，.
故答案为：6.
【分析】先利用诱导公式求得tana的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以cosa，可将所求分式转化为只含tana的代数式，代值计算即可得答案.
19．【答案】-1
【知识点】终边相同的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，
故答案为：-1
【分析】根据终边相同的角及诱导公式求解.
20．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
21．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可得．
故答案为：.
【分析】由诱导公式可得．
22．【答案】1
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】 .
故答案为：1
【分析】利用三角函数诱导公式化简求解.
23．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】设点在角的终边上，又，则，
线段绕点顺时针转动后，此时点在角的终边上，且，
所以此时点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.
故答案为：
【分析】设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得，再根据题意可知转动后点在角的终边上且，根据诱导公式求出即可.
24．【答案】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴，
又为第三象限角，
∴，
∴．
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出，即可．
25．【答案】（1）解：由 得 ，
又 ，所以 ，
， ，
所以
（2）解：法一：原式
由（1）得 ， ， ，
所以原式 ．
法二：
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】
（1）先由三角函数的定义求得cosα，再求sinα，并利用诱导公式求得sinβ，cosβ，再切化弦得答案；
（2）法一，利用诱导公式将原式化简得原式= ，再结合（1）的结果代入计算即可得答案；
法二，利用诱导公式以及切化弦将原式化简得原式 ，再结合（1）的结果代入计算即可得答案.
26．【答案】（1）解：因为角 终边与单位圆相交于点 ，
所以 ，
所以
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】
（1）由任意角的三角函数定义，然后转化为用tanα表示，代入tanα值可得答案；
（2）由垂直关系可得 ， 再利用诱导公式化简，转化为-cosαsinα，代入求值可得答案.
27．【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角是第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）解：由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1） 由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，求出 的值，进而分角是第一象限角时和角是第三象限角时两种情况求出的值；
（2）利用诱导公式化简 的值，根据（1）中所求，即可求出 的值.
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