2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.5 三角恒等变换 同步练习
一、选择题
1．（2023高三下·玉林模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·玉林模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
4．（2023高二下·保山期末）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2023·惠州模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·黄山模拟）若，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
7．（2023高二下·镇巴县期末）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·达州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三下·杭州模拟）已知，是关于的方程的两根，且，则（ ）
A． B．4 C．-12 D．
10．（2023·攀枝花模拟）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2023·齐齐哈尔模拟）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
12．（2023·浙江模拟）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
13．（2022·邯郸模拟）下列各式的值为的是（ ）.
A．sin B．sincos
C． D．
14．（2022·福建模拟）若满足，，则可以是（ ）
A． B． C． D．π
15．（2023高三上·南山期末）下列等式能够成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2021·重庆模拟）已知 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2022·邯郸模拟）已知函数，则（ ）
A．为周期函数
B．的图象关于轴对称
C．的值域为
D．在上单调递增
18．（2022高三上·济南月考）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为
B．扇形的面积为
C．当与重合时，
D．当时，四边形面积的最大值为
三、填空题
19．（2023·义乌模拟）若，则 .
20．（2023·普陀模拟）若且，则 ．
21．（2023·静安模拟）已知，且，则 ．
22．（2023·虹口模拟）已知是第二象限的角，且，则 .
23．（2023·杭州模拟）已知，，则 ．
四、解答题
24．（2023高一下·海南期末）已知函数，
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最大值.
25．（2023高一上·榆林期末）已知．
（1）若为第一象限角，求；
（2）求的值．
26．（2023高一上·温州期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
27．（2023高一上·楚雄期末）已知．
（1）求的值﹔
（2）求的值．
28．（2023高一上·五华期末）已知是钝角，是锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
29．（2023·杭州期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
（1）求的值．
（2）若角满足，求的值．
30．（2022高一上·杭州期末）在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴．若点在角的终边上，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．
（1）直接写出与的关系式；
（2）求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】先根据的取值范围，求出的取值范围，从而判断出的正负，利用同角三角基本关系求出余弦值，再利用两角差的余弦公式即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】可化为整理得解得(舍)或又因为，所以则
故答案为：D
【分析】先利用二倍角公式把已知条件进行化简，求出再利用同角基本关系求出，最后利用二倍角公式即可求解.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，或，
，，则.
故答案为：B.
【分析】由正弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系式的齐次式转换成正切，根据区间范围内的正切函数得出满足要求的的值。
4．【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：B.
【分析】运用诱导公式、二倍角公式求解。
5．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以，即，
所以，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
6．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正切函数的周期性
【解析】【解答】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即，解得或，
当时，，
当时，
所以，当时，或，
当时，或，
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出或，再利用正切函数的周期，化简，从而求出结果.
7．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，，，，
，，，
，
故答案为：D.
【分析】先求出，，在利用二倍角公式求出，，最后利用两角和的正弦公式求解.
9．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】，是关于的方程的两根，
，，
，
又，，解得：.
故答案为：C.
【分析】由题意以及韦达定理可得，，再由两角和的正切公式和正切的二倍角公式列出等式，求解可得m的值.
10．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为为锐角，，则，所以，，
由三角函数的定义可得，因此，.
故答案为：A.
【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出tanα的值，利用三角函数的定义可求得tanβ的值，再利用两角和的正切公式可求得 的值.
11．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】 根据三角函数的定义可得，然后根据正余弦的倍角公式，同角关系化简即可求解出答案.
12．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】由已知，则，又，故，故选C.
【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析即可求得结果.
13．【答案】A,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用诱导公式和二倍角公式逐项进行分析判断，可得答案。
14．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为， ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以
或 ，
或 ，
因为 范围不定，
当 时， ，当 时， = ，
故答案为：AC
【分析】由 ，可得 或 ，再结合 ，可得 或 ，即可求解。
15．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】对于A：，A不符合题意；
对于B：，B符合题意；
对于C：，C符合题意；
对于D：，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用两角和与差的正、余弦公式及倍角公式逐项进行判断，可得答案.
16．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 得 ，
同除 得 (*)，
所以 ，
即 ，∴ ，取等号时 ，A，B符合题意；
，显然不成立，C不符合题意；
，
由 知， ，∴ ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用两角和的正弦公式将已知展开变形，结合基本不等式得，故 ， ，取等号时 ，A，B符合题意；
C：利用两角和的正弦公式、同角三角函数的关系式化简得
，显然不成立，C不符合题意。
D：由 知， ，∴ ，D符合题意.
17．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；二倍角的余弦公式；三角函数的周期性；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得：
对于A选项：因为 ，所以 是函数 的一个周期，A符合题意；
对于B选项：因为 ，则 的图象关于原点对称，B不符合题意；
对于C选项：当 ， 时， ；
当 ， 时， .
故函数 的值域为 ，C符合题意；
对于D选项：当 时， ，因为 ，所以 在 上单调递增，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和周期函数的定义，进而判断出函数f(x)为周期函数；再利用奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而判断出函数f(x)的图像关于原点对称；利用已知条件结合绝对值的定义和分类讨论的方法，再结合二倍角的余弦公式和余弦型函数的图象求值域的方法，进而结合并集的运算法则，从而得出函数f(x)的值域；利用已知条件结合x的取值范围和二倍角的余弦公式，从而利用余弦型函数的图象判断出函数 在 上的单调性，进而找出正确的选项。
18．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：依题意圆的半径，，，，
所以的长度为，A符合题意；
因为，所以扇形的面积，B不符合题意；
当与重合时，即，则，则，C符合题意；
因为，所以
所以当，即时，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.
19．【答案】
【知识点】弦切互化；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由
故选：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、弦化切结合计算，即可求得答案.
20．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，所以，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角的正切值，再利用两角差的正切公式得出的值。
21．【答案】
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，得，
即，
解得或，
因为，，
所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和一元二次方程求解方法，进而得出角的余弦值，再结合角的取值范围，从而得出满足要求的角的余弦值。
22．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，是第二象限的角，则，
则，
.
故答案为：
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求得的值，再利用两角和的正切公式可求出答案.
23．【答案】0
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】将平方得，
结合可得，即，
则
，
故答案为：0
【分析】 根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及二倍角公式，即可求解出答案.
24．【答案】（1）解：因为，
所以，则，
又，
.
（2）解：因为，
所以
，
又，
所以当时，取得最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，结合同角三角关系运算求解；
(2) 根据倍角公式可得，进而结合二次函数分析求解.
25．【答案】（1）解：因为，
所以，则.
因为为第一象限角，所以，．
（2）解：由（1）知，所以，
所以．
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合同角三角函数的关系得，根据，求得 ，根据余弦函数的二倍角公式得；
（2） 由（1）知，所以，由同角三角函数的基本关系，计算求解即可.
26．【答案】（1）解：解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，
若为第三象限角，则，
故.
解法二：由已知得，则，则.
（2）解：解法一：由（1）知，则，，故.
解法二：由已知得，则.
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)由两角和的正切公式、同角公式和二倍角的余弦公式，化简整理，可求得 的值；
(2)由两角和的正切公式、同角公式和二倍角的正弦公式，化简整理，可得 的值.
27．【答案】（1）解：.
（2）解：原式.
【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角正切公式直接求解即可；
（2）利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式求法可求得结果.
28．【答案】（1）解：.
（2）解：因为是钝角，是锐角，，
所以，，，
所以，
.
所以
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出 的值。
（2）利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式，进而得出 的值。
29．【答案】（1）解：由角的终边过点得，
（2）解：由角的终边过点，得，
由，得．
，
当时，
当时，．
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出 的值；
（2）根据三角函数的定义求出和的值，再根据两角差的余弦公式可求出的值．
30．【答案】（1）解：由题意可得；
（2）解：∵，∴，，
∴，.
∵，
∴.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角之间的关系式和旋转方法，进而写出 与的关系式。
（2）利用已知条件结合三角函数的定义和二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合两角和的余弦公式，进而得出 的值。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一5.5 三角恒等变换 同步练习
一、选择题
1．（2023高三下·玉林模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】先根据的取值范围，求出的取值范围，从而判断出的正负，利用同角三角基本关系求出余弦值，再利用两角差的余弦公式即可求解.
2．（2023高三下·玉林模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】可化为整理得解得(舍)或又因为，所以则
故答案为：D
【分析】先利用二倍角公式把已知条件进行化简，求出再利用同角基本关系求出，最后利用二倍角公式即可求解.
3．（2023·广东模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，或，
，，则.
故答案为：B.
【分析】由正弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系式的齐次式转换成正切，根据区间范围内的正切函数得出满足要求的的值。
4．（2023高二下·保山期末）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：B.
【分析】运用诱导公式、二倍角公式求解。
5．（2023·惠州模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以，即，
所以，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
6．（2023·黄山模拟）若，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正切函数的周期性
【解析】【解答】由余弦的二倍角公式知，
得到 ，即，解得或，
当时，，
当时，
所以，当时，或，
当时，或，
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出或，再利用正切函数的周期，化简，从而求出结果.
7．（2023高二下·镇巴县期末）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
8．（2023高一下·达州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，，，，
，，，
，
故答案为：D.
【分析】先求出，，在利用二倍角公式求出，，最后利用两角和的正弦公式求解.
9．（2023高三下·杭州模拟）已知，是关于的方程的两根，且，则（ ）
A． B．4 C．-12 D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】，是关于的方程的两根，
，，
，
又，，解得：.
故答案为：C.
【分析】由题意以及韦达定理可得，，再由两角和的正切公式和正切的二倍角公式列出等式，求解可得m的值.
10．（2023·攀枝花模拟）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为为锐角，，则，所以，，
由三角函数的定义可得，因此，.
故答案为：A.
【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出tanα的值，利用三角函数的定义可求得tanβ的值，再利用两角和的正切公式可求得 的值.
11．（2023·齐齐哈尔模拟）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】 根据三角函数的定义可得，然后根据正余弦的倍角公式，同角关系化简即可求解出答案.
12．（2023·浙江模拟）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】由已知，则，又，故，故选C.
【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析即可求得结果.
二、多项选择题
13．（2022·邯郸模拟）下列各式的值为的是（ ）.
A．sin B．sincos
C． D．
【答案】A,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用诱导公式和二倍角公式逐项进行分析判断，可得答案。
14．（2022·福建模拟）若满足，，则可以是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为， ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以
或 ，
或 ，
因为 范围不定，
当 时， ，当 时， = ，
故答案为：AC
【分析】由 ，可得 或 ，再结合 ，可得 或 ，即可求解。
15．（2023高三上·南山期末）下列等式能够成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】对于A：，A不符合题意；
对于B：，B符合题意；
对于C：，C符合题意；
对于D：，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用两角和与差的正、余弦公式及倍角公式逐项进行判断，可得答案.
16．（2021·重庆模拟）已知 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由 得 ，
同除 得 (*)，
所以 ，
即 ，∴ ，取等号时 ，A，B符合题意；
，显然不成立，C不符合题意；
，
由 知， ，∴ ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用两角和的正弦公式将已知展开变形，结合基本不等式得，故 ， ，取等号时 ，A，B符合题意；
C：利用两角和的正弦公式、同角三角函数的关系式化简得
，显然不成立，C不符合题意。
D：由 知， ，∴ ，D符合题意.
17．（2022·邯郸模拟）已知函数，则（ ）
A．为周期函数
B．的图象关于轴对称
C．的值域为
D．在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；二倍角的余弦公式；三角函数的周期性；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得：
对于A选项：因为 ，所以 是函数 的一个周期，A符合题意；
对于B选项：因为 ，则 的图象关于原点对称，B不符合题意；
对于C选项：当 ， 时， ；
当 ， 时， .
故函数 的值域为 ，C符合题意；
对于D选项：当 时， ，因为 ，所以 在 上单调递增，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和周期函数的定义，进而判断出函数f(x)为周期函数；再利用奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而判断出函数f(x)的图像关于原点对称；利用已知条件结合绝对值的定义和分类讨论的方法，再结合二倍角的余弦公式和余弦型函数的图象求值域的方法，进而结合并集的运算法则，从而得出函数f(x)的值域；利用已知条件结合x的取值范围和二倍角的余弦公式，从而利用余弦型函数的图象判断出函数 在 上的单调性，进而找出正确的选项。
18．（2022高三上·济南月考）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的长度为
B．扇形的面积为
C．当与重合时，
D．当时，四边形面积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：依题意圆的半径，，，，
所以的长度为，A符合题意；
因为，所以扇形的面积，B不符合题意；
当与重合时，即，则，则，C符合题意；
因为，所以
所以当，即时，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.
三、填空题
19．（2023·义乌模拟）若，则 .
【答案】
【知识点】弦切互化；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由
故选：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、弦化切结合计算，即可求得答案.
20．（2023·普陀模拟）若且，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为且，所以，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角的正切值，再利用两角差的正切公式得出的值。
21．（2023·静安模拟）已知，且，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，得，
即，
解得或，
因为，，
所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和一元二次方程求解方法，进而得出角的余弦值，再结合角的取值范围，从而得出满足要求的角的余弦值。
22．（2023·虹口模拟）已知是第二象限的角，且，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，是第二象限的角，则，
则，
.
故答案为：
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求得的值，再利用两角和的正切公式可求出答案.
23．（2023·杭州模拟）已知，，则 ．
【答案】0
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】将平方得，
结合可得，即，
则
，
故答案为：0
【分析】 根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及二倍角公式，即可求解出答案.
四、解答题
24．（2023高一下·海南期末）已知函数，
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最大值.
【答案】（1）解：因为，
所以，则，
又，
.
（2）解：因为，
所以
，
又，
所以当时，取得最大值.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，结合同角三角关系运算求解；
(2) 根据倍角公式可得，进而结合二次函数分析求解.
25．（2023高一上·榆林期末）已知．
（1）若为第一象限角，求；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为，
所以，则.
因为为第一象限角，所以，．
（2）解：由（1）知，所以，
所以．
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知结合同角三角函数的关系得，根据，求得 ，根据余弦函数的二倍角公式得；
（2） 由（1）知，所以，由同角三角函数的基本关系，计算求解即可.
26．（2023高一上·温州期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：解法一：由已知得，则，若为第一象限角，则，
若为第三象限角，则，
故.
解法二：由已知得，则，则.
（2）解：解法一：由（1）知，则，，故.
解法二：由已知得，则.
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)由两角和的正切公式、同角公式和二倍角的余弦公式，化简整理，可求得 的值；
(2)由两角和的正切公式、同角公式和二倍角的正弦公式，化简整理，可得 的值.
27．（2023高一上·楚雄期末）已知．
（1）求的值﹔
（2）求的值．
【答案】（1）解：.
（2）解：原式.
【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角正切公式直接求解即可；
（2）利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式求法可求得结果.
28．（2023高一上·五华期末）已知是钝角，是锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：.
（2）解：因为是钝角，是锐角，，
所以，，，
所以，
.
所以
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出 的值。
（2）利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式，进而得出 的值。
29．（2023·杭州期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
（1）求的值．
（2）若角满足，求的值．
【答案】（1）解：由角的终边过点得，
（2）解：由角的终边过点，得，
由，得．
，
当时，
当时，．
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出 的值；
（2）根据三角函数的定义求出和的值，再根据两角差的余弦公式可求出的值．
30．（2022高一上·杭州期末）在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴．若点在角的终边上，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合．
（1）直接写出与的关系式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意可得；
（2）解：∵，∴，，
∴，.
∵，
∴.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角之间的关系式和旋转方法，进而写出 与的关系式。
（2）利用已知条件结合三角函数的定义和二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合两角和的余弦公式，进而得出 的值。
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