2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.6 函数y=Asin（ωx+φ） 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·安康月考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移1个单位长度后 可得
因为的图像关于原点对称，当k=0时取得最小值1.
故答案为：B
【分析】先求出f(x)平移后的的解析式，再根据图像关于原点对称得到的方程，令k=0即可求解.
2．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 横坐标伸长原来的2倍得到，
∴原函数为 ，
故选：B.
【分析】根据函数伸缩性质，写出原函数坐标即可.
3．（2023高二下·金华期末）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 的图像向左平移个单位得到函数 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， 解得 ，
所以 .
故选：C．
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出 ，可得 .
4．（2023高一下·洮南期末）某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象可知：该函数的振幅为2，即A=2，
最小正周期则，故排除A、B；
当x=0时，y>0，D选项不满足题意，排除D.
故选： C.
【分析】由函数的最值求出A，根据图象求出最小正周期进而求出，可排除A、B，再代入特殊值当x=0时，y>0排除D，可得答案.
5．（2023高一下·吉林期中）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ， 只需将向右平移个单位得到函数的图像。
故答案为：C
【分析】根据平移规则得到答案。
6．（2023高二下·黑龙江期末）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
7．（2023高一下·绍兴月考）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：令f（x）=0，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵
∴解得，
因此为定值.
故选：A.
【分析】 令f（x）=0，可求函数f（x）的零点，根据已知条件、，可确定，，结合，可求出，因此可知为定值．
8．（2023高一下·上饶期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于B：由题意可得，可得，且，
解得，故B错误；
所以
又因为图象过点，可得，则，
解得，且，可得，
所以.
对于A：因为，故A正确；
对于C：因为，
所以点不是函数的对称中心，故C错误；
对于D：当时，不是最值，
所以直线不是函数的对称轴，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合五点法求的值，可知，再根据正弦函数的性质逐项分析判断.
9．（2023高一下·定远期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为，
D．将的图象向右平移个单位长度后所得的函数图象在上单调递增
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可知，最小正周期为 ，
将点 代入 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ，
解得 ， ，
所以不等式 的解集为， 故C正确；
将的图象向右平移 个 单位长度后，得到的图象，
令 ，
解得 ，
令k=1得 ，因为 上 ，故D错误.
故选：C.
【分析】由图象求出，逐一验证选项即可.
10．（2023高二下·达州期末）如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知G在X轴上，说明CD是的一条中线，
，
，
代入，
A选项：
在上单调递减，在上单调递增，
所以与A选项矛盾，A选项不正确.
B选项：
，
不是对称轴.
C选项：
，
，
，
所以C选项符合题意，
D选项：
所以D选项不符合题意.
故选：C.
【分析】先利用重心G，求点D坐标，从而求出三角函数的周期，再利用与关系求出，并将点C坐标代入，求出，从而得出三角函数的解析式以及对称轴的表达式，结合向量求出余弦值.
二、多项选择题
11．（2023·黄埔）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】A,B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，故A正确；
函数的最小正周期为，故 B正确；
由得 ，故C错误；
由的图象向左平移个单位长度得，故D错误.
故选：AB.
【分析】 利用二倍角公式及辅助角公式化简函数f (x)，再结合正弦函数的性质、三角函数的平移规律逐项进行判断，可得答案.
12．（2023·嘉兴模拟）已知函数，则（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则在上的最大值为
C．若在上单调递增，则
D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于A，若的最小正周期为，则，所以，A符合题意；
对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，B不正确；
对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，C符合题意；
对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，
所以，又，则的最小值为，D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦型三角函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
13．（2023高三下·梅河口月考）若函数同时满足以下条件：①是函数的零点，且；②，有，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】A,B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对A：函数的零点，即方程的解，所以，
由②知是函数的一条对称轴，则有，
解得，所以，故A正确；
对B：将的图象向左平移个单位长度得到函数，故B正确；
对C：令，解得，
即时函数单调递减，，故C正确；
对D：当时，，显然不是函数的对称轴，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由条件先得出，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.
14．（2023·鞍山模拟）已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的图象一条对称轴为
C．在上单调递减
D．把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】A,C
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】，
最小正周期为，，得，
则，
的图象过点，，
即，得，得，，
，当时，，
则，
则 最大值为，A符合题意，
，即图象的一条对称轴为错误，
当时，，此时为减函数，故正确，
把的图象向左平移个单位长度，得到，无法得到的图象，故错误，
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式和代入法得出正弦型函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，进而得出函数的最值，再利用正弦型函数的图象判断其对称性，再结合正弦型函数的图象变换，从而找出结论正确的选项。
15．（2023·安庆模拟）将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象.则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象有一条对称轴为
C．函数的单调递增区间为
D．函数在区间上的值域为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；三角函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.
所以函数.
将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，因为的最小正周期为，由于，从而.
因此，，
对A：函数的最小正周期为，A符合题意.
对B：因为时，所以是函数的一条对称轴，B符合题意；
对C：由得，故单调递增区间为， C不正确.
对D：由得，所以，
所以，故函数在区间的值域为， D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期；再结合余弦型函数的图象求出其对称轴；再利用正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出其单调区间；再结合余弦型函数的图象求出函数 在区间上的值域，进而找出说法正确的选项。
16．（2023·张家界模拟）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．是的导函数，令.则在上的值域为
【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理
【解析】【解答】A选项，由，
故，必有一个最大值和一个最小值，
则为半个周期长度，正确；
B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；
C选项，，
在上有且仅在4个零点，
结合正弦函数的性质知：，
则，正确；
D选项，由题意，
则在时，，故值域为，错误.
故答案为：ABC.
【分析】由，故，必有一个最大值和一个最小值，从而结合正弦型函数的最小正周期公式得出为半个周期长度；利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和函数的图象关于y轴对称的判断方法；由x的取值范围和不等式的基本性质以及零点存在性定理和正弦函数的性质，进而得出的取值范围；由题意结合二倍角的正弦公式和x的取值范围以及余弦型函数的图象求值域的方法，进而找出说法正确的选项。
17．（2023·湖南模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A符合题意；
显然，当时，，因此单调递增，B符合题意；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C不符合题意；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由已知观察图象知，函数的周期，可求出，进而可求出φ，判断A；当时，，可判断B；利用图象变换可得，可判断C；判断，判断的解的情况，可判断D.
18．（2023·汕头模拟）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为
B．是的一个单调递增区间
C．对任意，点都是图象的对称中心
D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到
【答案】B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；正切函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，A不符合题意；
因为，所以，所以，因为
所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，B符合题意；
令，，解得，，所以函数的对称中心为，，C符合题意；
将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合正切型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期，从而得出EF的长，再利用三角形的面积为结合三角形的面积公式得出OD的长，从而得出点的纵坐标为；利用函数的解析式和代入法以及，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式，再结合正切型函数的图象判断其单调性，进而得出函数的单调递增区间；再利用正切型函数的图象求出函数的对称中心；再结合正切型函数的图象变换得出函数f(x)的图象，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
19．（2023·达州模拟）函数的部分图象如图，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则 .
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题设，过，，则，即，
又，则，故且，即，，
显然，则，故且，可得，
综上，当时，，故，
故.
故答案为：.
【分析】由题设分析知过，且，求出、，根据，求结果即可.
20．（2023·重庆市模拟）如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为O为的重心，且，可得，
解得，所以，
所以，所以，所以，解得，
可得，
由，即，可得，
解得，又由，所以，
所以，
于是，所以.
.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合tanB = tan(∠ABO +∠CBO) ，即可求解出答案.
21．（2023·昆明模拟）已知的部分图象如图所示，，为的图象上两点，则 ．
【答案】-1
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为，为的图象上两点，
所以，解得，即.
所以.
又因为，，
所以或，
即或，
因为，所以，即.
.
故答案为：-1
【分析】首先根据题意得到T=3π ，从而得到，根据得到，再计算f(2π)即可得答案.
22．（2023·凉山模拟）已知函数，则下列说法中正确的是 ．
①一条对称轴为；
②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若，则；
④若函数在区间上恰有2个极大值点，则实数的取值范围是．
【答案】①③
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
令，解得，当时，，①正确；
图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后，新函数非奇非偶，②错误；
，等号左右两边平方可得，
则，解得，③正确；
，当恰好是函数极大值时，那么函数一个周期正好为，因为，所以④错误；
故答案为：①③
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质和三角函数的图象变换规律，逐项进行判断，可得答案.
四、解答题
23．（2022·浙江模拟）已知函数．
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）求函数在区间上的单调区间．
【答案】（1）解：，
所以的最大值为，最小正周期为π.
（2）解：由（1）得：，
由，解得，
令，得在上单调递增，
所以在区间内，在上单调递增，在上单调递减．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到， ，所以的最大值为，最小正周期为π；
（2） 由（1）得：，根据三角函数的图象性质可得解.
24．（2022·上海市模拟）已知
（1）设是周期为的偶函数，求；
（2）若在上是增函数，求的最大值；并求此时在的取值范围.
【答案】（1）解：，
设，
因为的周期为，故，故.
所以，而为偶函数，
所以即，
因为，故，
综上，，.
（2）解：，
令，，解得，
故函数的单调递增区间为，
所以存在使得成立.
因为，所以，故即，
故的最大值为.
此时，
因为，故，所以，
在上的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的单调性
【解析】【分析】（1）由题意可得，由周期可求，再结合 为偶函数 得到即可求解；
（2）由题意得到。由即可得 的单调递增区间从而得到求解即可得，得到进而可求解。
25．（2023·温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
【答案】（1）解：由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
【知识点】正切函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点列出不等式求解即可；
（2）根据（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解单调区间即可.
26．（2023·白山模拟）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的.
（1）若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，
所以，
令，，解得，，
取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为.
（2）解：由已知得，
令，，解得，.
因为在上有且仅有一个零点，所以
所以.
因为，所以，解得，，所以，
解得，
即的取值范围为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由题意得， 令，解得，取 ，可得结论；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
27．（2023·丰台模拟）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由图象可知：，
将点代入得，
∴
（2）解：
由得
当时，即；
当时，即；
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，，进而得到函数解析式；
（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.
28．（2022·新昌模拟）已知函数的部分图象如图所示，且的面积等于.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）解：由题意可得，
，
所以，即.
所以，图像过点，
则，
又因为，所以，
所以，
由可得：
所以函数的单调减区间为，.
（2）解：由可得，
所以，
令，
则，，，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】 (1)先由图象确定解析式，再根据三角图像性质求函数的单调递减区间；
(2)先由已知得整体角“ ”的正弦、余弦值，再将未知角转化成“”，最后利用两角和的正弦公式求解出 的值.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一5.6 函数y=Asin（ωx+φ） 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·安康月考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·金华期末）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·洮南期末）某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高一下·吉林期中）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
6．（2023高二下·黑龙江期末）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
7．（2023高一下·绍兴月考）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·上饶期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
9．（2023高一下·定远期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为，
D．将的图象向右平移个单位长度后所得的函数图象在上单调递增
10．（2023高二下·达州期末）如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
二、多项选择题
11．（2023·黄埔）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
12．（2023·嘉兴模拟）已知函数，则（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则在上的最大值为
C．若在上单调递增，则
D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为
13．（2023高三下·梅河口月考）若函数同时满足以下条件：①是函数的零点，且；②，有，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为
C．在上单调递减
D．直线是曲线的一条对称轴
14．（2023·鞍山模拟）已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的图象一条对称轴为
C．在上单调递减
D．把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
15．（2023·安庆模拟）将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象.则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象有一条对称轴为
C．函数的单调递增区间为
D．函数在区间上的值域为
16．（2023·张家界模拟）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．是的导函数，令.则在上的值域为
17．（2023·湖南模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
18．（2023·汕头模拟）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（ ）
A．点的纵坐标为
B．是的一个单调递增区间
C．对任意，点都是图象的对称中心
D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到
三、填空题
19．（2023·达州模拟）函数的部分图象如图，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则 .
20．（2023·重庆市模拟）如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 ．
21．（2023·昆明模拟）已知的部分图象如图所示，，为的图象上两点，则 ．
22．（2023·凉山模拟）已知函数，则下列说法中正确的是 ．
①一条对称轴为；
②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若，则；
④若函数在区间上恰有2个极大值点，则实数的取值范围是．
四、解答题
23．（2022·浙江模拟）已知函数．
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）求函数在区间上的单调区间．
24．（2022·上海市模拟）已知
（1）设是周期为的偶函数，求；
（2）若在上是增函数，求的最大值；并求此时在的取值范围.
25．（2023·温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
26．（2023·白山模拟）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的.
（1）若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
27．（2023·丰台模拟）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
28．（2022·新昌模拟）已知函数的部分图象如图所示，且的面积等于.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移1个单位长度后 可得
因为的图像关于原点对称，当k=0时取得最小值1.
故答案为：B
【分析】先求出f(x)平移后的的解析式，再根据图像关于原点对称得到的方程，令k=0即可求解.
2．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 横坐标伸长原来的2倍得到，
∴原函数为 ，
故选：B.
【分析】根据函数伸缩性质，写出原函数坐标即可.
3．【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数 的图像向左平移个单位得到函数 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， 解得 ，
所以 .
故选：C．
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出 ，可得 .
4．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象可知：该函数的振幅为2，即A=2，
最小正周期则，故排除A、B；
当x=0时，y>0，D选项不满足题意，排除D.
故选： C.
【分析】由函数的最值求出A，根据图象求出最小正周期进而求出，可排除A、B，再代入特殊值当x=0时，y>0排除D，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ， 只需将向右平移个单位得到函数的图像。
故答案为：C
【分析】根据平移规则得到答案。
6．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
7．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：令f（x）=0，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵
∴解得，
因此为定值.
故选：A.
【分析】 令f（x）=0，可求函数f（x）的零点，根据已知条件、，可确定，，结合，可求出，因此可知为定值．
8．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于B：由题意可得，可得，且，
解得，故B错误；
所以
又因为图象过点，可得，则，
解得，且，可得，
所以.
对于A：因为，故A正确；
对于C：因为，
所以点不是函数的对称中心，故C错误；
对于D：当时，不是最值，
所以直线不是函数的对称轴，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合五点法求的值，可知，再根据正弦函数的性质逐项分析判断.
9．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可知，最小正周期为 ，
将点 代入 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ，
解得 ， ，
所以不等式 的解集为， 故C正确；
将的图象向右平移 个 单位长度后，得到的图象，
令 ，
解得 ，
令k=1得 ，因为 上 ，故D错误.
故选：C.
【分析】由图象求出，逐一验证选项即可.
10．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知G在X轴上，说明CD是的一条中线，
，
，
代入，
A选项：
在上单调递减，在上单调递增，
所以与A选项矛盾，A选项不正确.
B选项：
，
不是对称轴.
C选项：
，
，
，
所以C选项符合题意，
D选项：
所以D选项不符合题意.
故选：C.
【分析】先利用重心G，求点D坐标，从而求出三角函数的周期，再利用与关系求出，并将点C坐标代入，求出，从而得出三角函数的解析式以及对称轴的表达式，结合向量求出余弦值.
11．【答案】A,B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，故A正确；
函数的最小正周期为，故 B正确；
由得 ，故C错误；
由的图象向左平移个单位长度得，故D错误.
故选：AB.
【分析】 利用二倍角公式及辅助角公式化简函数f (x)，再结合正弦函数的性质、三角函数的平移规律逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于A，若的最小正周期为，则，所以，A符合题意；
对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，B不正确；
对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，C符合题意；
对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，
所以，又，则的最小值为，D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦型三角函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】A,B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对A：函数的零点，即方程的解，所以，
由②知是函数的一条对称轴，则有，
解得，所以，故A正确；
对B：将的图象向左平移个单位长度得到函数，故B正确；
对C：令，解得，
即时函数单调递减，，故C正确；
对D：当时，，显然不是函数的对称轴，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由条件先得出，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.
14．【答案】A,C
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的值域与最值
【解析】【解答】，
最小正周期为，，得，
则，
的图象过点，，
即，得，得，，
，当时，，
则，
则 最大值为，A符合题意，
，即图象的一条对称轴为错误，
当时，，此时为减函数，故正确，
把的图象向左平移个单位长度，得到，无法得到的图象，故错误，
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式和代入法得出正弦型函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，进而得出函数的最值，再利用正弦型函数的图象判断其对称性，再结合正弦型函数的图象变换，从而找出结论正确的选项。
15．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；三角函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.
所以函数.
将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，因为的最小正周期为，由于，从而.
因此，，
对A：函数的最小正周期为，A符合题意.
对B：因为时，所以是函数的一条对称轴，B符合题意；
对C：由得，故单调递增区间为， C不正确.
对D：由得，所以，
所以，故函数在区间的值域为， D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期；再结合余弦型函数的图象求出其对称轴；再利用正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出其单调区间；再结合余弦型函数的图象求出函数 在区间上的值域，进而找出说法正确的选项。
16．【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理
【解析】【解答】A选项，由，
故，必有一个最大值和一个最小值，
则为半个周期长度，正确；
B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；
C选项，，
在上有且仅在4个零点，
结合正弦函数的性质知：，
则，正确；
D选项，由题意，
则在时，，故值域为，错误.
故答案为：ABC.
【分析】由，故，必有一个最大值和一个最小值，从而结合正弦型函数的最小正周期公式得出为半个周期长度；利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和函数的图象关于y轴对称的判断方法；由x的取值范围和不等式的基本性质以及零点存在性定理和正弦函数的性质，进而得出的取值范围；由题意结合二倍角的正弦公式和x的取值范围以及余弦型函数的图象求值域的方法，进而找出说法正确的选项。
17．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A符合题意；
显然，当时，，因此单调递增，B符合题意；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C不符合题意；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】由已知观察图象知，函数的周期，可求出，进而可求出φ，判断A；当时，，可判断B；利用图象变换可得，可判断C；判断，判断的解的情况，可判断D.
18．【答案】B,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；正切函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，A不符合题意；
因为，所以，所以，因为
所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，B符合题意；
令，，解得，，所以函数的对称中心为，，C符合题意；
将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合正切型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期，从而得出EF的长，再利用三角形的面积为结合三角形的面积公式得出OD的长，从而得出点的纵坐标为；利用函数的解析式和代入法以及，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式，再结合正切型函数的图象判断其单调性，进而得出函数的单调递增区间；再利用正切型函数的图象求出函数的对称中心；再结合正切型函数的图象变换得出函数f(x)的图象，进而找出结论正确的选项。
19．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题设，过，，则，即，
又，则，故且，即，，
显然，则，故且，可得，
综上，当时，，故，
故.
故答案为：.
【分析】由题设分析知过，且，求出、，根据，求结果即可.
20．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为O为的重心，且，可得，
解得，所以，
所以，所以，所以，解得，
可得，
由，即，可得，
解得，又由，所以，
所以，
于是，所以.
.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合tanB = tan(∠ABO +∠CBO) ，即可求解出答案.
21．【答案】-1
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为，为的图象上两点，
所以，解得，即.
所以.
又因为，，
所以或，
即或，
因为，所以，即.
.
故答案为：-1
【分析】首先根据题意得到T=3π ，从而得到，根据得到，再计算f(2π)即可得答案.
22．【答案】①③
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
令，解得，当时，，①正确；
图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后，新函数非奇非偶，②错误；
，等号左右两边平方可得，
则，解得，③正确；
，当恰好是函数极大值时，那么函数一个周期正好为，因为，所以④错误；
故答案为：①③
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质和三角函数的图象变换规律，逐项进行判断，可得答案.
23．【答案】（1）解：，
所以的最大值为，最小正周期为π.
（2）解：由（1）得：，
由，解得，
令，得在上单调递增，
所以在区间内，在上单调递增，在上单调递减．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到， ，所以的最大值为，最小正周期为π；
（2） 由（1）得：，根据三角函数的图象性质可得解.
24．【答案】（1）解：，
设，
因为的周期为，故，故.
所以，而为偶函数，
所以即，
因为，故，
综上，，.
（2）解：，
令，，解得，
故函数的单调递增区间为，
所以存在使得成立.
因为，所以，故即，
故的最大值为.
此时，
因为，故，所以，
在上的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的单调性
【解析】【分析】（1）由题意可得，由周期可求，再结合 为偶函数 得到即可求解；
（2）由题意得到。由即可得 的单调递增区间从而得到求解即可得，得到进而可求解。
25．【答案】（1）解：由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
【知识点】正切函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点列出不等式求解即可；
（2）根据（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解单调区间即可.
26．【答案】（1）解：由，得，
所以，
令，，解得，，
取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为.
（2）解：由已知得，
令，，解得，.
因为在上有且仅有一个零点，所以
所以.
因为，所以，解得，，所以，
解得，
即的取值范围为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由题意得， 令，解得，取 ，可得结论；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
27．【答案】（1）解：由图象可知：，
将点代入得，
∴
（2）解：
由得
当时，即；
当时，即；
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，，进而得到函数解析式；
（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.
28．【答案】（1）解：由题意可得，
，
所以，即.
所以，图像过点，
则，
又因为，所以，
所以，
由可得：
所以函数的单调减区间为，.
（2）解：由可得，
所以，
令，
则，，，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】 (1)先由图象确定解析式，再根据三角图像性质求函数的单调递减区间；
(2)先由已知得整体角“ ”的正弦、余弦值，再将未知角转化成“”，最后利用两角和的正弦公式求解出 的值.
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