2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.2 等差数列 同步练习
一、选择题
1．（2023·上海市模拟） 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男， 日增等里， 首日行走一百里， 九日共行一千二百六十里， 问日增几何 "， 该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为 （ ）
A．110 B．120 C．130 D．140
2．（2023·齐齐哈尔模拟）基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至年月底，地区已经累计开通基站个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进网络建设．已知年月该地区计划新建个基站，以后每个月比上一个月多建个，则地区到年月底累计开通基站的个数为（ ）
A．5650 B．5950 C．6290 D．6590
3．（2023·安康模拟）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．（2023·黄埔）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
5．（2023·房山模拟）已知等差数列的前项和为，则等于（ ）
A．27 B．24 C．21 D．18
6．（2023·广州模拟）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·宜宾模拟）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2023·遂宁模拟）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．210 B．110 C．50 D．55
二、多项选择题
9．（2022·惠州模拟）已知为等差数列，其前项和，若，，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当时
10．（2023·梅州模拟）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
11．（2023·湖北模拟）已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·张掖模拟）下列说法错误的有（）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
三、填空题
13．（2023高三下·四川模拟）已知正项数列的前n项和为，满足，则 ．
14．（2023·淮南模拟）记为数列的前n项和.已知，，则数列的通项公式，是 .
15．（2023·柳州模拟）已知数列满足，，，则数列的前30项和为 .
16．（2023高三下·吉林）将数列中的项排成下表：
，
，，，
，，，，，，，
…
已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为 .
四、解答题
17．在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（2023·商洛模拟）已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设的前n项和为，求数列的前n项和．
19．（2023高二下·深圳期末）已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（2022·日照模拟）已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，．
（1）若，求；
（2）已知，且对任意恒成立，求数列的前n项和．
21．（2023·金华模拟）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
22．（2022·江西模拟）在①，②（b为常数），③这三个条件中选择一个，补充在下面横线中，并给出解答．
已知等差数列的前n项和为，，且____．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设此人第一天走a1里，第二天走a2里， 第n天走an里，{an}是等差数列，首项是a1=100 ，
因为 ，所以a5=140 ．
故选：D．
【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．
2．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得，年月及之后该地区每个月建设的基站数量为等差数列，且公差为，
则到年月底要经过个月，预计地区到年月底累计可开通
个基站．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】 根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解出答案.
4．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n层放小球的个数为an，
由题意得，，
可得数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
即
故
即
故
故选：C.
【分析】 首先由二阶等差数列的定义，得到数列 是首项为2，公差为1的等差数列，再求和得到数列 的通项公式，进而求出，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 等差数列的公差为 ，则，又，解得
.
故答案为：A
【分析】先利用等差数列通项求出公差，再利用求和公式求出 .
6．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，则有：
当时，，则，且，可得，故A错误；
当时，，整理得；
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，且，所以，故C错误；
当时，，
且上式对也成立，所以，
可知数列为递减数列，可得，故B正确；
因为，
所以
，
故D错误；
故选：B.
【分析】根据与的关系可得，，进而逐项分析判断.
7．【答案】B
【知识点】等差数列与一次函数的关系
【解析】【解答】当时，数列恒为负，
当时，数列恒为正，
所以当时最小.
故答案为：B.
【分析】分与讨论数列的正负，即可求解出答案.
8．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，所以当时，，两式相减得，
由，可得，进而，
所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又，而，所以，
故答案为：A
【分析】 由，得当时，两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可求出答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由，得，即.
因，所以，且，AB符合题意；
因，且，故时，最大，即，C符合题意；
由，得，即，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，A不符合题意；
对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B符合题意；
对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，C不符合题意；
对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.
故若对任意，均有，有数列是递增数列，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】取数列为首项为4，公差为的等差数列，可判定A不符合题意；利用等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可判定B符合题意；取数列为首项为1，公差为的等差数列，得到恒成立，可判定C不符合题意；若数列是递减数列，得到一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有，对任意，均有，有数列是递增数列，可判定D符合题意．
11．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，时，，当时，满足，
而且时，，则为等差数列，A符合题意；
对于B，，当时，不满足上式，
得，因此数列不是等差数列，B不符合题意；
对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，
则，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以为等差数列，C符合题意；
对于D，，，
，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，
从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，
而到中间恰有个递增的正整数：，
于是得，，又，，
令，即有，又，
故对，，显然数列是等差数列，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据递推公式结合等差数列的定义，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】A： 显然成等差数列，但是 显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B： 显然成等差数列，但是 这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C：因为a，b，c成等差数列，所以 ，因为 ，
所以 成等差数列，因此本说法正确；
D： 显然成等差数列，但是 ，显然 不成等差数列，因此本说法不正确；
故答案为：ABD
【分析】根据等差数列的定义进行判断，结合去特殊值法进行排除即可。
13．【答案】18
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以；
当时，由得，
则，
整理得，所以，
因此数列是以为公差的等差数列，则，
所以.
故答案为：.
【分析】 由已知数列递推式求解首项，且n≥2时，有，与原递推式联立，可得数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出答案.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意得①，
当时，②
①②化简得，
即，
则，
则数列是以为首项，公差为的等差数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法，再结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
15．【答案】465
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
【分析】通过分类讨论得当为奇数时，是首项为1，公差为1的等差数列；当为偶数时，是首项为2，公差为3的等差数列；再利用等差数列的求和公式，可求得答案.
16．【答案】1344
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 的前项和满足（且） ，，，
数列是公差为2的等差数列，又 ，（且）
观察各行的规律可知第行的第1个数为，最后一个数为，共有项
， 为第8行的第3个数，，
每一行中的数按从左到右的顺序构成公差为的等差数列，
第6行第1个数为，最后一个数为，共有项，
第6行的所有项的和为
故答案为：1344
【分析】先求出的通项并分析出各行第1个数和最后一个数的规律，进而求出从第三行起每一行的公差，最后求解第6行的所有项的和。
17．【答案】（1）解：设数列的公差为d，
则，
解得，
故．
（2）解：由（1）知，
则，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，，得，解得．
所以．
（2）解：由（1）得，
所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 设等差数列的公差为， 根据等差数列的性质即可求得d的值，进而即可求得 的通项公式；
(2)先根据等差数列前n项和的公式求得Sn，从而可得 的通项公式，再根据裂项相消即可求得Tn.
19．【答案】（1）证明：，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则；
（2）解：，
，
；
综上，，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）首先将题干中递推公式两边取倒数，经过推导可得和d，可求出数列的通式，即可得出答案；
（2）首先根据的通式计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出Tn．
20．【答案】（1）解：由题意得，当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
由，得，
解得，所以．
（2）解：当n为偶数时，由恒成立，得，
即恒成立，所以且d1>1，
当n为奇数时，由，恒成立，得，
即恒成立，所以，因此，
又由，得，
即，解得，
所以，即数列是等差数列，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知条件的数列的递推公式，结合等差数列的前n项和公式计算出公差的取值，再把数值代入到通项公式由此计算出答案。
(2)首先由等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，整理化即可得出不等式结合不等式的简单性质由已知条件，即可得出公差的取值，从而得出数列的通项公式，由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）解：记，
，
.
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式可求数列 的通项公式，再根据数列的项与前n项和的关系可求出 的通项公式；
(2)利用错位相减法求和即可.
22．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
由，得∴．
若选①，则由，得，
又，解得，，
∴．
若选②：由（b为常数），得，∴b＝4，
∴，∴，∴．
∴．
若选③：∵，则，
由，得，∴，
∴．
（2）解：令，则，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 根据题意已知条件由等差数列的通项公式计算出公差的取值，若选① 根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，代入数值计算出首项和公差的值，由此得出数列的通项公式。 若选②： 由数列的前n项和公式与数列项之间的关系，由此计算出公差的取值，由此得出数列的通项公式。 若选③ 由等差数列的前n项和公式整理化简已知条件由此计算出公差的取值，从而得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出数列的前n项和即可。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.2 等差数列 同步练习
一、选择题
1．（2023·上海市模拟） 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男， 日增等里， 首日行走一百里， 九日共行一千二百六十里， 问日增几何 "， 该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为 （ ）
A．110 B．120 C．130 D．140
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设此人第一天走a1里，第二天走a2里， 第n天走an里，{an}是等差数列，首项是a1=100 ，
因为 ，所以a5=140 ．
故选：D．
【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．
2．（2023·齐齐哈尔模拟）基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至年月底，地区已经累计开通基站个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进网络建设．已知年月该地区计划新建个基站，以后每个月比上一个月多建个，则地区到年月底累计开通基站的个数为（ ）
A．5650 B．5950 C．6290 D．6590
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得，年月及之后该地区每个月建设的基站数量为等差数列，且公差为，
则到年月底要经过个月，预计地区到年月底累计可开通
个基站．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解出答案.
3．（2023·安康模拟）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】 根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解出答案.
4．（2023·黄埔）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n层放小球的个数为an，
由题意得，，
可得数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
即
故
即
故
故选：C.
【分析】 首先由二阶等差数列的定义，得到数列 是首项为2，公差为1的等差数列，再求和得到数列 的通项公式，进而求出，可得答案.
5．（2023·房山模拟）已知等差数列的前项和为，则等于（ ）
A．27 B．24 C．21 D．18
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 等差数列的公差为 ，则，又，解得
.
故答案为：A
【分析】先利用等差数列通项求出公差，再利用求和公式求出 .
6．（2023·广州模拟）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，则有：
当时，，则，且，可得，故A错误；
当时，，整理得；
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，且，所以，故C错误；
当时，，
且上式对也成立，所以，
可知数列为递减数列，可得，故B正确；
因为，
所以
，
故D错误；
故选：B.
【分析】根据与的关系可得，，进而逐项分析判断.
7．（2023·宜宾模拟）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等差数列与一次函数的关系
【解析】【解答】当时，数列恒为负，
当时，数列恒为正，
所以当时最小.
故答案为：B.
【分析】分与讨论数列的正负，即可求解出答案.
8．（2023·遂宁模拟）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．210 B．110 C．50 D．55
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，所以当时，，两式相减得，
由，可得，进而，
所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又，而，所以，
故答案为：A
【分析】 由，得当时，两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可求出答案.
二、多项选择题
9．（2022·惠州模拟）已知为等差数列，其前项和，若，，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当时
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由，得，即.
因，所以，且，AB符合题意；
因，且，故时，最大，即，C符合题意；
由，得，即，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可.
10．（2023·梅州模拟）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，A不符合题意；
对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B符合题意；
对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，C不符合题意；
对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.
故若对任意，均有，有数列是递增数列，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】取数列为首项为4，公差为的等差数列，可判定A不符合题意；利用等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可判定B符合题意；取数列为首项为1，公差为的等差数列，得到恒成立，可判定C不符合题意；若数列是递减数列，得到一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有，对任意，均有，有数列是递增数列，可判定D符合题意．
11．（2023·湖北模拟）已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，时，，当时，满足，
而且时，，则为等差数列，A符合题意；
对于B，，当时，不满足上式，
得，因此数列不是等差数列，B不符合题意；
对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，
则，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以为等差数列，C符合题意；
对于D，，，
，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，
从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，
而到中间恰有个递增的正整数：，
于是得，，又，，
令，即有，又，
故对，，显然数列是等差数列，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据递推公式结合等差数列的定义，逐项进行判断，可得答案.
12．（2022·张掖模拟）下列说法错误的有（）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】A： 显然成等差数列，但是 显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B： 显然成等差数列，但是 这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C：因为a，b，c成等差数列，所以 ，因为 ，
所以 成等差数列，因此本说法正确；
D： 显然成等差数列，但是 ，显然 不成等差数列，因此本说法不正确；
故答案为：ABD
【分析】根据等差数列的定义进行判断，结合去特殊值法进行排除即可。
三、填空题
13．（2023高三下·四川模拟）已知正项数列的前n项和为，满足，则 ．
【答案】18
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以；
当时，由得，
则，
整理得，所以，
因此数列是以为公差的等差数列，则，
所以.
故答案为：.
【分析】 由已知数列递推式求解首项，且n≥2时，有，与原递推式联立，可得数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出答案.
14．（2023·淮南模拟）记为数列的前n项和.已知，，则数列的通项公式，是 .
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意得①，
当时，②
①②化简得，
即，
则，
则数列是以为首项，公差为的等差数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法，再结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
15．（2023·柳州模拟）已知数列满足，，，则数列的前30项和为 .
【答案】465
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
【分析】通过分类讨论得当为奇数时，是首项为1，公差为1的等差数列；当为偶数时，是首项为2，公差为3的等差数列；再利用等差数列的求和公式，可求得答案.
16．（2023高三下·吉林）将数列中的项排成下表：
，
，，，
，，，，，，，
…
已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为 .
【答案】1344
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 的前项和满足（且） ，，，
数列是公差为2的等差数列，又 ，（且）
观察各行的规律可知第行的第1个数为，最后一个数为，共有项
， 为第8行的第3个数，，
每一行中的数按从左到右的顺序构成公差为的等差数列，
第6行第1个数为，最后一个数为，共有项，
第6行的所有项的和为
故答案为：1344
【分析】先求出的通项并分析出各行第1个数和最后一个数的规律，进而求出从第三行起每一行的公差，最后求解第6行的所有项的和。
四、解答题
17．在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设数列的公差为d，
则，
解得，
故．
（2）解：由（1）知，
则，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
18．（2023·商洛模拟）已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设的前n项和为，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，，得，解得．
所以．
（2）解：由（1）得，
所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 设等差数列的公差为， 根据等差数列的性质即可求得d的值，进而即可求得 的通项公式；
(2)先根据等差数列前n项和的公式求得Sn，从而可得 的通项公式，再根据裂项相消即可求得Tn.
19．（2023高二下·深圳期末）已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则；
（2）解：，
，
；
综上，，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）首先将题干中递推公式两边取倒数，经过推导可得和d，可求出数列的通式，即可得出答案；
（2）首先根据的通式计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出Tn．
20．（2022·日照模拟）已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，．
（1）若，求；
（2）已知，且对任意恒成立，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由题意得，当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
由，得，
解得，所以．
（2）解：当n为偶数时，由恒成立，得，
即恒成立，所以且d1>1，
当n为奇数时，由，恒成立，得，
即恒成立，所以，因此，
又由，得，
即，解得，
所以，即数列是等差数列，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知条件的数列的递推公式，结合等差数列的前n项和公式计算出公差的取值，再把数值代入到通项公式由此计算出答案。
(2)首先由等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，整理化即可得出不等式结合不等式的简单性质由已知条件，即可得出公差的取值，从而得出数列的通项公式，由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
21．（2023·金华模拟）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）解：记，
，
.
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前n项和公式可求数列 的通项公式，再根据数列的项与前n项和的关系可求出 的通项公式；
(2)利用错位相减法求和即可.
22．（2022·江西模拟）在①，②（b为常数），③这三个条件中选择一个，补充在下面横线中，并给出解答．
已知等差数列的前n项和为，，且____．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
由，得∴．
若选①，则由，得，
又，解得，，
∴．
若选②：由（b为常数），得，∴b＝4，
∴，∴，∴．
∴．
若选③：∵，则，
由，得，∴，
∴．
（2）解：令，则，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 根据题意已知条件由等差数列的通项公式计算出公差的取值，若选① 根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，代入数值计算出首项和公差的值，由此得出数列的通项公式。 若选②： 由数列的前n项和公式与数列项之间的关系，由此计算出公差的取值，由此得出数列的通项公式。 若选③ 由等差数列的前n项和公式整理化简已知条件由此计算出公差的取值，从而得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出数列的前n项和即可。
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