一元二次不等式解法(第一课时)的教学设计

《一元二次不等式解法》(第一课时)的教学设计
四川省巴中中学 郭雄英
一、教学目标
(一)知识目标 理解一元二次方程，一元二次不等式、二次函数之间的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。
(二)能力目标 通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
(三)情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。
二、教学分析
教学重点：一元二次不等式的解法。
教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
教学方法：诱思引探教学法
教学用具：多媒体
三、课堂设计
(一)创设情景，引出“三个一次”的关系
师：请同学们解一元二次方程：x2-x-6=0
生：解（略）
师：若将上述方程中的“=”改为“>”，就得到一元二次不等式x2-x-6>0，怎样求解一元二次不等式呢？这就是我们本节课学习的内容（板书课题）
师：初中已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，如：
2x-7=0x=3.5
2x-7>0x>3.5 （学生口答，教师板书）
2x-7<0x<3.5
师：其实两个一元一次不等式的解是通过不等式的基本性质得到的，但是我们很难利用不等式的基本性质尽快得到一元二次不等式的解，为此我们换一种角度来认识一元一次不等的解，我们引入一次函数y=2x-7的图象来认识2x-7<0和2x-7>0的解。
借助动画展示：
1 当2x-7=0时，得x=3.5；当y=0时，
函数的图象与x轴交于点(3.5,0)，得x=3.5。
2 当2x-7>0时，得x>3.5；当y>0时，
函数的图象在x轴上方，得x>3.5。
3 当2x-7<0时，得x<3.5；当y<0时，
函数的图象在x轴下方，得x<3.5。
引导学生观察得出结论：
①当2x-7=0的解是函数y=2x-7的图象与x轴交点的横坐标。
②当2x-7>0的解集是函数y=2x-7的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合。
③当2x-7<0的解集是函数y=2x-7的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合。
由此可以利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集，请我们一起用此方法来探索一元二次不等式x2-x-6>0的解集。
(二)比旧悟新，引出“三个二次”的关系
(展示课件3)
画一画：
看一看：函数图象与x轴的位置关系。
说一说：①方程x2-x-6=0的解是 x=-2或x=3 ；
②不等式x2-x-6>0的解集是 {x|x<-2,或x>3} ；
③不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2(问一问)我们把函数y=x2-x-6变为y=ax2+bx+c(a>0)，那么图象与x轴有几个交点？(①因为a>0，所以图象开口向上。②Δ=b2－4ac=0时，图象与x轴只有一个交点;Δ>0时，图象与x轴有两个交点；Δ<0时，图象与x轴没有交点。)
(三)归纳提炼，得出“三个二次”的关系
(1)引导学生观察图象与x轴的相对位置关系，写出相关不等式的解集。
(2)学生思考：若a < 0时，怎样求解不等式ax2+bx+c > 0及ax2+bx+c < 0？
(四)应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集
例1、解不等式2x2－3x－2>0
分析：不等式2x2－3x－2>0与表格中ax2+bx+c>0(a>0)的形式完全一样，因此先考虑对应方程的判别式及方程的根，然后根据不等式解集情况求得原不等式的解集，画出相应二次函数的图象帮助理解。(学生口答，教师板书)
解：因为Δ>0，方程2x2－3x－2=0的解是
x1=，x2=2
所以，不等式的解集是
{ x| x<，或x>2}
例2 解不等式－3x2+6x > 2
分析：－3x2+6x > 2，即－3x2+6x－2 > 0与表格中不等式的形式比较可发现，它们不同之处在于二次项系数，故先将其变为二次项系数大于零的情形，转化为熟知类型，然后求解。(学生口答，教师板书)
解：整理，得3x2－6x+2 < 0
因为Δ> 0，方程3x2－6x+2=0的解是x1=1－，x2=1+
所以，原不等式的解集是{x | 1－< x < 1+}
解法步骤总结：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
例3 解不等式4x2－4x+1>0
例4 解不等式－x2+2x－3>0
例3紧扣函数y=4x2－4x+1的图象与x轴只有一个交点，例4按照一化正→二算Δ→三求根→四写解集的程序规范书写(先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。)
(五)课堂小结
解一元二次不等式的“四部曲”：
(1)把二次项的系数化为正数
(2)计算判别式Δ
(3)解对应的一元二次方程
(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
(六)布置作业
(1)必做题：习题1.5的1、3题
(2)探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c>0的解集为M，ax2+bx+c<0的解集为N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3>0的解集是R，求实数k的取值范围。
(七)板书设计
一元二次不等式解法(1)
(一)“三个一次”的关系(二)观察y=x2-x-6的图像(三)“三个二次”的关系 (四)例题解析例1例2例3 例4(五)总结(六)作业
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