2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归纳法 同步练习
一、选择题
1．（2022高二下·北海期末）用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023高二上·孝义期末）用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·张掖月考）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了一项
C．增加了，又减少了
D．增加了，又减少了
5．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
6．（2022高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A．-1 B． C． D．
7．（2022高二下·钦州期末）用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022高二下·郑州期中）用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2021·重庆模拟）已知各项均为正数的数列 的前n项之积为 ，且 ，则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．无论 取何值，均存在 使得 对任意 成立
D．无论 取何值，数列 中均存在与 的数值相同的另一项
10．（2020高二上·南京月考）已知数列 均为递增数列， 的前n项和为 的前n项和为 且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022高二下·奉贤期中）用数学归纳法证明“ ”，在验证 成立时，等号左边的式子是 .
12．（2022高二下·虹口期末）用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共 项．
13．（2022·浙江模拟）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
14．（2022·浙江模拟）已知向量，，，则 ， .
四、解答题
15．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明：．
16．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
17．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
18．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
19．（2022·温州模拟）数列满足，.
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
20．（2022高二下·成都期中）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
21．（2022高二下·鄠邑期中）在数列、中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）．求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论．
22．（2023高三上·昌平期末）已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意对n分情况讨论，结合等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果，由数学归纳的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；
即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故答案为：B．
【分析】由数学归纳法的定义，整理化简不等式由此即可得证出结论。
3．【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当时，左边.
当时，左边.
所以要增乘的是.
故答案为：D
【分析】分别求出当时和当时，左边的代数式，即可得到正确答案.
4．【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题意，当时，左边；
当时，左边，
所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出和时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
6．【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题意，当时，
左边
故答案为：C
【分析】 根据等式左侧最后一项在n = 1时为-5，结合选项得答案.
7．【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】因为，当时，左边=.
故答案为：B
【分析】先通过解原不等式知，要使原不等式成立，，从而根据数学归纳法证明即可.
8．【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】时左边比时左边增加了，减少了，所以证明=，
故答案为：B.
【分析】 写出n = k的不等式以及n = k + 1时的不等式，即可判断出答案.
9．【答案】A,B
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【解答】若 ，则 ，若 ，则 ，故 ，A符合题意；
，
故有 ， ，B符合题意；
若 ，则 ， ， ， ，
故数列从第2项开始按 ，1，2周期变化，其中没有与 相同的项，C，D均不正确.
故答案为：AB
【分析】通过数学归纳法可判断A；通过观察前几项数值规律进行判断B；运用特殊值法可判断C、D。
10．【答案】A,B,C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】因为数列 为递增数列，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，A符合题意；
因为 为递增数列，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，B符合题意；
的前2n项和为
= ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 的2n项和为
=
，
当n=1时， ，所以 ，D不符合题意；
当 时
假设当n=k时， ，即 ，
则当n=k+1时，
所以对于任意 ，都有 ，即 ，C符合题意
故答案为：ABC
【分析】利用数列单调性及题干条件可求出范围；求出数列 的前项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：当n=1时，左边= .
故答案为：
【分析】由数学归纳法，代入求解即可.
12．【答案】
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】时，不等式为，时，不等式为，
右边增加，项数有．
故答案为：．
【分析】写出和时的式子，比较可得．
13．【答案】92；336
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【解答】记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
【分析】记第个图形的点数为，由图形，归纳推理可得，再根据累加得可得，进而求出．由于可得，根据等差数列的前n项和即可求出的结果.
14．【答案】；
【知识点】数列的求和；数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题数据可得，，归纳法可得
，，，…，，
所以，
故
.
故答案为：，
【分析】求出，后可猜想，由裂项相消法求和可得答案。
15．【答案】解：（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=2×1=2．
∴左边=右边，故n=1当时，结论成立；
（2）假设结论成立，即，
∴
，
∴当时，结论成立，
故对任意，结论都成立．
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】利用归纳假设法的证明步骤，即可得证出结论。
16．【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
17．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法的原理；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
18．【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
19．【答案】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
【知识点】反证法与放缩法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】 (1)首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；
(2)根据(1) 运用放缩法，将bn进行放缩，进而表示出Sn，再运用不等式的性质证得结论成立.
20．【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
21．【答案】解：由条件得 ， ，
令 ，可得 ，
猜测 ，
用数学归纳法证明：
①当 时，由已知，可得结论成立．
②假设当 且)时，结论成立，即 ，
那么当 时， ，
，
所以当 时，结论成立．
由①②可知，对一切都成立．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法猜想出数列 ，的通项公式， 再利用数学归纳法证明出数列 ，的通项公式对一切正整数都成立。
22．【答案】（1）解：若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.
故.
（2）解：设，
若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质，
故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）解：当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题；函数的周期性；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和元素与集合的关系，进而结合函数的周期性得出集合M的所有的元素。
（2）利用已知条件结合类比推理的方法和分类讨论的方法，再结合数学归纳法证出集合的所有元素都是3的倍数。
（3）利用已知条件结合列举法得出集合M的元素个数，再结合比较法得出集合M的元素个数的最大值。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归纳法 同步练习
一、选择题
1．（2022高二下·北海期末）用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意对n分情况讨论，结合等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果，由数学归纳的定义即可得出答案。
2．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；
即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故答案为：B．
【分析】由数学归纳法的定义，整理化简不等式由此即可得证出结论。
3．（2023高二上·孝义期末）用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当时，左边.
当时，左边.
所以要增乘的是.
故答案为：D
【分析】分别求出当时和当时，左边的代数式，即可得到正确答案.
4．（2022高三上·张掖月考）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了一项
C．增加了，又减少了
D．增加了，又减少了
【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题意，当时，左边；
当时，左边，
所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出和时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
5．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
【答案】D
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
6．（2022高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题意，当时，
左边
故答案为：C
【分析】 根据等式左侧最后一项在n = 1时为-5，结合选项得答案.
7．（2022高二下·钦州期末）用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】因为，当时，左边=.
故答案为：B
【分析】先通过解原不等式知，要使原不等式成立，，从而根据数学归纳法证明即可.
8．（2022高二下·郑州期中）用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】时左边比时左边增加了，减少了，所以证明=，
故答案为：B.
【分析】 写出n = k的不等式以及n = k + 1时的不等式，即可判断出答案.
二、多项选择题
9．（2021·重庆模拟）已知各项均为正数的数列 的前n项之积为 ，且 ，则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．无论 取何值，均存在 使得 对任意 成立
D．无论 取何值，数列 中均存在与 的数值相同的另一项
【答案】A,B
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【解答】若 ，则 ，若 ，则 ，故 ，A符合题意；
，
故有 ， ，B符合题意；
若 ，则 ， ， ， ，
故数列从第2项开始按 ，1，2周期变化，其中没有与 相同的项，C，D均不正确.
故答案为：AB
【分析】通过数学归纳法可判断A；通过观察前几项数值规律进行判断B；运用特殊值法可判断C、D。
10．（2020高二上·南京月考）已知数列 均为递增数列， 的前n项和为 的前n项和为 且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】因为数列 为递增数列，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，A符合题意；
因为 为递增数列，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，B符合题意；
的前2n项和为
= ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 的2n项和为
=
，
当n=1时， ，所以 ，D不符合题意；
当 时
假设当n=k时， ，即 ，
则当n=k+1时，
所以对于任意 ，都有 ，即 ，C符合题意
故答案为：ABC
【分析】利用数列单调性及题干条件可求出范围；求出数列 的前项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得出答案。
三、填空题
11．（2022高二下·奉贤期中）用数学归纳法证明“ ”，在验证 成立时，等号左边的式子是 .
【答案】
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【解答】解：当n=1时，左边= .
故答案为：
【分析】由数学归纳法，代入求解即可.
12．（2022高二下·虹口期末）用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共 项．
【答案】
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】时，不等式为，时，不等式为，
右边增加，项数有．
故答案为：．
【分析】写出和时的式子，比较可得．
13．（2022·浙江模拟）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
【答案】92；336
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数学归纳法的原理
【解析】【解答】记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
【分析】记第个图形的点数为，由图形，归纳推理可得，再根据累加得可得，进而求出．由于可得，根据等差数列的前n项和即可求出的结果.
14．（2022·浙江模拟）已知向量，，，则 ， .
【答案】；
【知识点】数列的求和；数学归纳法的原理
【解析】【解答】由题数据可得，，归纳法可得
，，，…，，
所以，
故
.
故答案为：，
【分析】求出，后可猜想，由裂项相消法求和可得答案。
四、解答题
15．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明：．
【答案】解：（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=2×1=2．
∴左边=右边，故n=1当时，结论成立；
（2）假设结论成立，即，
∴
，
∴当时，结论成立，
故对任意，结论都成立．
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】利用归纳假设法的证明步骤，即可得证出结论。
16．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
17．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法的原理；运用数学归纳法证明简单命题
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
18．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
19．（2022·温州模拟）数列满足，.
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
【知识点】反证法与放缩法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】 (1)首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；
(2)根据(1) 运用放缩法，将bn进行放缩，进而表示出Sn，再运用不等式的性质证得结论成立.
20．（2022高二下·成都期中）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
21．（2022高二下·鄠邑期中）在数列、中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）．求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论．
【答案】解：由条件得 ， ，
令 ，可得 ，
猜测 ，
用数学归纳法证明：
①当 时，由已知，可得结论成立．
②假设当 且)时，结论成立，即 ，
那么当 时， ，
，
所以当 时，结论成立．
由①②可知，对一切都成立．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法猜想出数列 ，的通项公式， 再利用数学归纳法证明出数列 ，的通项公式对一切正整数都成立。
22．（2023高三上·昌平期末）已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
【答案】（1）解：若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.
故.
（2）解：设，
若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质，
故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）解：当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题；函数的周期性；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和元素与集合的关系，进而结合函数的周期性得出集合M的所有的元素。
（2）利用已知条件结合类比推理的方法和分类讨论的方法，再结合数学归纳法证出集合的所有元素都是3的倍数。
（3）利用已知条件结合列举法得出集合M的元素个数，再结合比较法得出集合M的元素个数的最大值。
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