2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.1 导数的概念及其意义 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·安徽月考）若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设切点的横坐标为x，则，解得或x=-1(舍去).
故选：B.
【分析】 设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，求解可得切点的横坐标 .
2．（2023高二下·宝安期中）某物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由导数的物理意义知路程在某时刻的导数值是物体在该时刻的瞬时速度，
， ，物体在时的瞬时速度为.
故答案为：D
【分析】利用导数的物理意义进行求解。
3．（2023高二下·四平月考）已知某质点运动的位移（单位；）与时间（单位；）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以该质点在t=2s时的瞬时速度为 .
故选：B.
【分析】求导得，再代入t=2s，可得答案.
4．（2023高二下·成都期中）若函数在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．-e B．e C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以在点处的切线斜率为，解得，
故答案为：D．
【分析】根据某点切线斜率与导函数等价关系，求导即可求解出的值.
5．（2023高二下·十堰期末）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，，则，
当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”为公切线，
设切点为，可得，即，解得.
故答案为：D.
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义结合公切线的定义列出等量关系，运算求解即可.
6．（2023高二下·静安期末） 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
7．（2023高二下·花都期中）已知函数的图象如图所示，设函数从到的平均变化率为，从到的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；变化的快慢与变化率
【解析】【解答】∵，
，
∴
【分析】利用平均变化率公式求解即可.
8．（2023高二下·简阳月考）若经过点P(2，8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：①易知P点在曲线上，当P点为切点时，y=3x2，k=12，12x-y-16=0 .
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0) ，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
解得x0=-1或x0=2(舍去)，
∴ y0=-1，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即3x-y+2=0 .
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0 .
故选：D
【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
二、多项选择题
9．（2023高二下·宝安期中）在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设 切线的倾斜角为点的横坐标为，，，则由题意知，即，或，解得，符合条件的选项有AD。
故答案为：AD
【分析】利用导数进行求解。
10．（2023高二下·联合期末）形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值
D．是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】对A：因为是双曲线，由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交，
故渐近线为和，故A正确；
对B：因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为，
由二倍角公式可得，
整理得，解得或（舍去），
故，
另一条直线的斜率为，
所以的对称轴方程为和 ，故B正确；
对C：设，所以，
故，故C错误；
对D：因为，
设，则Q处切线的斜率，
所以切线方程为，
令，可得，即，则；
令，可得，即，则；
故面积为（定值），故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.
三、填空题
11．（2023高二下·金华期末）曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当x=0时， ， ，
故切线方程为：y-1=1·(x-0) ，即x-y+1=0 .
故答案为：x-y+1=0 .
【分析】根据导数的几何意义即得.
12．（2023高二下·龙岗期中）已知函数，那么在点处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为1，
所以切线方程为，整理得.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解.
13．（2023·浙江模拟） 函数的图象在点处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵f(x)=cosx-sinx，∴f'(x)=-sinx-cosx，
∴，
∴根据导数的几何意义可知，曲线f(x)=cosx-sinx在点处的切线方程的斜率k=-1，
∴f(x)=cosx-sinx在点处的切线方程为：，即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，通过函数求导求出切线方程的斜率，再通过点斜式方程公式写方程后化简即可.
14．（2023高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义运算求解.
15．（2023高二下·静安期末） 过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 .
【答案】或0
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】根据 可得，
，圆心，半径为1，
设直线的斜率为k，则，
，
直线l到圆心的距离为，
解得或，
故答案为：或0.
【分析】设直线的斜率为k，则，根据距离公式求出斜率.
16．（2023高二下·杭州）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为 ．
【答案】0
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 由 得 ，
则，
故曲线y= f (x)在点(1， f (1))处的曲率为
故答案为： 0.
【分析】求出原函数的导函数f'(x)与导函数的导函数f"(x)，然后代入题中公式即可求出答案.
17．（2023·广州模拟）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为曲线 在点处的切线与直线垂直，
又直线的斜率为， 所以 ；
由 得，
即 ，
所以解得
由 ，
解得 或 (舍去).
故答案为：
【分析】由曲线在点处的切线与直线垂直，可以求得曲线在切点处的导数值，将函数求导，代入解方程即可.
18．（2023·齐齐哈尔模拟）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由曲线可得，由曲线可得，
由导数的几何意义可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
若存在实数t使得与的倾斜角互补，
则方程，即存在正根，所以
解得．
故答案为：.
【分析】由导数的几何意义求出直线与斜率，由直线与倾斜角互补，直线与斜率的斜率之和为0，得到实数a关于正数t的函数表达式，即存在正根，求解可得实数a的取值范围 .
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.1 导数的概念及其意义 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·安徽月考）若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023高二下·宝安期中）某物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·四平月考）已知某质点运动的位移（单位；）与时间（单位；）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（2023高二下·成都期中）若函数在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．-e B．e C．-1 D．1
5．（2023高二下·十堰期末）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·静安期末） 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·花都期中）已知函数的图象如图所示，设函数从到的平均变化率为，从到的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
8．（2023高二下·简阳月考）若经过点P(2，8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、多项选择题
9．（2023高二下·宝安期中）在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·联合期末）形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值
D．是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值
三、填空题
11．（2023高二下·金华期末）曲线在处的切线方程为 .
12．（2023高二下·龙岗期中）已知函数，那么在点处的切线方程为 ．
13．（2023·浙江模拟） 函数的图象在点处的切线方程为 ．
14．（2023高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为 ．
15．（2023高二下·静安期末） 过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 .
16．（2023高二下·杭州）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为 ．
17．（2023·广州模拟）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
18．（2023·齐齐哈尔模拟）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设切点的横坐标为x，则，解得或x=-1(舍去).
故选：B.
【分析】 设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，求解可得切点的横坐标 .
2．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由导数的物理意义知路程在某时刻的导数值是物体在该时刻的瞬时速度，
， ，物体在时的瞬时速度为.
故答案为：D
【分析】利用导数的物理意义进行求解。
3．【答案】B
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以该质点在t=2s时的瞬时速度为 .
故选：B.
【分析】求导得，再代入t=2s，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以在点处的切线斜率为，解得，
故答案为：D．
【分析】根据某点切线斜率与导函数等价关系，求导即可求解出的值.
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，，则，
当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”为公切线，
设切点为，可得，即，解得.
故答案为：D.
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义结合公切线的定义列出等量关系，运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；变化的快慢与变化率
【解析】【解答】∵，
，
∴
【分析】利用平均变化率公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：①易知P点在曲线上，当P点为切点时，y=3x2，k=12，12x-y-16=0 .
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0) ，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
解得x0=-1或x0=2(舍去)，
∴ y0=-1，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即3x-y+2=0 .
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0 .
故选：D
【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
9．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】设 切线的倾斜角为点的横坐标为，，，则由题意知，即，或，解得，符合条件的选项有AD。
故答案为：AD
【分析】利用导数进行求解。
10．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】对A：因为是双曲线，由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交，
故渐近线为和，故A正确；
对B：因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为，
由二倍角公式可得，
整理得，解得或（舍去），
故，
另一条直线的斜率为，
所以的对称轴方程为和 ，故B正确；
对C：设，所以，
故，故C错误；
对D：因为，
设，则Q处切线的斜率，
所以切线方程为，
令，可得，即，则；
令，可得，即，则；
故面积为（定值），故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.
11．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当x=0时， ， ，
故切线方程为：y-1=1·(x-0) ，即x-y+1=0 .
故答案为：x-y+1=0 .
【分析】根据导数的几何意义即得.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为1，
所以切线方程为，整理得.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：∵f(x)=cosx-sinx，∴f'(x)=-sinx-cosx，
∴，
∴根据导数的几何意义可知，曲线f(x)=cosx-sinx在点处的切线方程的斜率k=-1，
∴f(x)=cosx-sinx在点处的切线方程为：，即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，通过函数求导求出切线方程的斜率，再通过点斜式方程公式写方程后化简即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义运算求解.
15．【答案】或0
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】根据 可得，
，圆心，半径为1，
设直线的斜率为k，则，
，
直线l到圆心的距离为，
解得或，
故答案为：或0.
【分析】设直线的斜率为k，则，根据距离公式求出斜率.
16．【答案】0
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 由 得 ，
则，
故曲线y= f (x)在点(1， f (1))处的曲率为
故答案为： 0.
【分析】求出原函数的导函数f'(x)与导函数的导函数f"(x)，然后代入题中公式即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为曲线 在点处的切线与直线垂直，
又直线的斜率为， 所以 ；
由 得，
即 ，
所以解得
由 ，
解得 或 (舍去).
故答案为：
【分析】由曲线在点处的切线与直线垂直，可以求得曲线在切点处的导数值，将函数求导，代入解方程即可.
18．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由曲线可得，由曲线可得，
由导数的几何意义可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
若存在实数t使得与的倾斜角互补，
则方程，即存在正根，所以
解得．
故答案为：.
【分析】由导数的几何意义求出直线与斜率，由直线与倾斜角互补，直线与斜率的斜率之和为0，得到实数a关于正数t的函数表达式，即存在正根，求解可得实数a的取值范围 .
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