2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023高三下·吉林）已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黄埔）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·白山）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高三下·梅河口月考）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·嵊州模拟）已知函数，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·上虞模拟）已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·白山）关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·梅河口月考）已知则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023·义乌模拟）已知拋物线，点均在抛物线上，点，则（ ）
A．直线的斜率可能为
B．线段长度的最小值为
C．若三点共线，则存在唯一的点，使得点为线段的中点
D．若三点共线，则存在两个不同的点，使得点为线段的中点
10．（2023·上虞模拟）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（ ）
A．在上是增函数 B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．
11．（2023·广州模拟）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
12．（2023·柯桥模拟）若函数为函数的导函数，且对于任意实数，均有，且，则（ ）
A．函数不可能为奇函数 B．存在实数M，使得
C．存在实数N，使得 D．函数不存在零点
三、填空题
13．（2023高三下·梅河口月考）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
14．（2023·义乌模拟）若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为 .
15．（2023·上虞模拟）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
16．（2022高三上·白山）已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023·黄埔）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
18．（2022高三上·白山）已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围.
19．（2022高三上·白山）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
20．（2022高三上·白山）已知：函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
21．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
22．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
23．（2022高三上·白山）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，则，
由 得， 由 得，，解得(舍去负值)，
，
令，则，令解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，实数的最大值为
故答案为：B
【分析】由题知曲线 与 曲线 在P点的的导数值相等.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，
由题意得
由 得
即
故函数h(x)在R上单调递减.
由 为奇函数得f(0)-2024=0，得f(0) =2024，所以h(0)= f(0)-1 =2023，
由 得即
又因为函数h(x)在R上单调递减，
所以x>0，
因此不等式的解集为 (0， +∞).
故选： D.
【分析】 根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用h(x)在R上单调性求解可得答案.
3．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构建，
因为，所以为的偶函数，
又因为，当时，，
可得，则在上单调递增，
所以在上单调递减，且，
若 ，即，可得，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：C.
【分析】构建，分析可知为的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，进而根据函数性质解不等式.
4．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意可知：函数的定义域为，，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，
则，可得，
则
，
又因为，即，所以或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求a的范围.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分段函数的应用
【解析】【解答】当时，，
当时，，
由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，
则，即，
所以，，
令，则，
可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，
可得当时，取得最小值为．
所以的最小值是．
故答案为：B．
【分析】由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，由，得，得到，，构造函数，，利用导数求其最小值即．
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由 ，
可知a=lnb，c=eb， 则a+c= lnb+ eb，
由正数a、b满足，得b>1.
设(x>1)，
则，
令，则
由指数函数与幂函数可知，与在x>1时均为递增函数
故，即，则在x>1时单调递增
此时
故恒成立，即，
所以f(x)在x∈[1， +∞)上单调递增，
因为b>1，则f(b)>f(1)，即lnb+eb- 2b>0+e-2>0，
故lnb+eb>2b，即a+c>2b，故A选项错误；B选项正确；
令b=e，解得a=1，c=e2，此时ac=e2=b2，故选项C和选项D都错误；
故选： B.
【分析】将a和c都用b表示，构造函数，再利用求导得f(x)在x∈[1， +∞)上单调性，逐项进行判断可得答案.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，
则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
对①：在处取得极小值，极小值为，
当时，恒成立，可知在上恒成立，
所以为的最小值，则既有极小值也有最小值，①正确；
对②：因为，，，
所以在和上各有一个零点，
又当时，恒成立，所以f(x)有且只有两个不同的零点，②正确；
对③：因为，图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，
即当时，有且仅有两个不等实根，③错误；
对④：若时，，，结合图象可知：，即t的最小值为2，④正确.
故答案为：C.
【分析】求导后，根据正负可确定的单调性；根据在上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出图象，将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，
但时，则在上单调递增，
所以，则.
因为，
所以比较的大小可以比较与，即比较与e，
设，可知在上单调递增，
因为，且，
所以，则，故.
所以.
故答案为：A.
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性可比较b、c，构造函数，利用单调性可比较a、b，然后可得答案.
9．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】 设 ，在抛物线上，
假设直线的斜率可能为 ，则，则
由△=100-120<0，得该方程无解，则直线PA的斜率不可能为，故A错误；
，令y=m4+(m-3)2，则y'=4m3+2(m-3)，y''=12m2+2>0，
故y'单调递增，由得当m>1，y'>0，y单调递增，
当m<1时，y'<0，y单调递减，故当m=1时，y=m4+(m-3)2取最小值5 ，
故最小值为 ，故B正确；
若P，A，B三点共线，A为线段PB的中点，则0+n2=2m2，3+n = 2m，
即
即
故有两个不相等的实数根，所以满足条件的点B不唯一，故C错误，D正确.
故选：BD.
【分析】 根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根的情况可判断A；由两点距离公式，结合导数求单调性确定最值可判断B；根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断C、D.
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对于A， ，，由，故 上必存在的区间，此时为减函数，故A错误；
对于B，易知，即该函数的最小正周期为，设 x∈[0，2π]，令f'2(x)= (2cosx- 1)(cosx+1)=0得或-1，所以或π或，此时，，，故最大值为，故B错误；
对于C， ，故 是 的最小正周期 ，故C正确；
对于D，利用放缩法可得D正确.
【分析】 利用导数研究单调性，在一个周期内研究极值、端点处的函数值进而求出最值，利用周期函数的定义判断周期，由此逐项进行判断，即可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对选项A： ， ，
函数在 在上为减函数，则 ，解得 ，正确；
对选项B：函数 的对称中心为，则f(1)=1-a-1+1=-2 ，a=3 ，错误；
对选项C： ， ，
当 时，f'(x)>0 ，函数单调递增；
当 时，f'(x)<0 ，函数单调递减；
当 时，f'(x)>0 ，函数单调递增；
，
故 ，
要证 ，即 ，
整理得到 ，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为(x0，y0) ，则 ， ，
则切线方程为 ，
将(-1，n)代入上式，整理得 ，方程有三个不同解，
设 ，则 ，
当 时，g'(x)<0 ，函数单调递增；
当 时，g'(x)>0，函数单调递减；
当 时，g'(x)<0，函数单调递增；
极小值g(-1)=0 ，极大值 ，故 ，正确；
故选：ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到a=3，B错误，求导得到函数的单调区间，确定 ，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到 ，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
12．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由已知可得，即，
所以，令，则，
令则
所以，则
令
则
所以不为奇函数，故A正确；依题意 ， 则可得，使得，则f(x)在递减，递增，则取，
则存在N，使得，故C正确；
因为当时，不存在M，使得f(x)=M，故B错误；
由可得：所以函数y=f(x)存在零点，故D错误。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合转化法、换元法和构造法，再结合函数的一阶导数与二阶导数的分析构造符合题意的具体函数，再由奇函数的定义判断A；求导的方法判断函数的单调性得出函数的最值判断B、C，再结合零点存在性定理判断函数零点个数判定D。
13．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】设函数的零点为t，则，则点在直线上.
因为表示与的距离的平方，
所以的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，
即，
令，
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，，
则
所以，的最小值为.
故答案为：.
【分析】设函数的零点为t，则，则点在直线=0上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 由题意知两曲线 与 有公切线，a=0时，两曲线 与 ，不合题意；
的导数y'=2x，的导数为
设公切线与相切的切点为(n，n2)，与曲线相切的切点为(m，alnm)，
则切线方程为y-n2= 2n(x- n)，即y=2nx-n2
切线方程也可写为即，
故，即，得，故有解，
令g(x)=x2(1 - lnx)，(x> 0)，
则
令g'(x)= 0可得，当时，g'(x)>0，当时，g' (x)< 0，
故g(x)在(0，)是增函数，在(， +∞)是减函数，
故g(x)的最大值为
故，即
故实数a的最大值为2e.
故答案为： 2e.
【分析】设公切线与相切的切点为(n，n2)，与曲线相切的切点为(m，alnm)，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得，故可得有解，令g(x)=x2(1 - lnx)，(x> 0)，利用导数求得其最值，即可求得实数的最大值 .
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 设 x0是 的零点
则f(x0)=， x0∈[2，3]
∴，则
令
当时，
令
，当时，，且1-在x0∈[2，3]上递减
因此h(x0)在[2，e]上递增，在[e，3]上递减，
故
所以
所以ab的最大值为
【分析】设F(x0)=0， x0∈[2.3]，得，构造函数，再根据二次函数的性质可得，令，求导，根据导数的符号可得函数在 上的单调性，进而求出，即可求得，即可得ab的最大值.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
若关于x的方程有3个不同实根， 则与有 3个不同 的交点，
如图所示，实数取值范围为.
故答案为：.
【分析】分，两种情况，利用导数判断分段的单调性和最值，根据题意可得与有 3个不同 的交点，数形结合处理问题.
17．【答案】（1）解：由，可得，
令，解得，
当时，则，可得，在单调递减；
当时，则，可得，在单调递增；
故函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）解：由，得，
因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，
因为，所以的递增区间是，递减区间是，
所以当时，取最大值，
由（1）可知，当时，取最小值，
当，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点；
当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点；
当，即时，函数有两个零点，
理由如下：
因为，
所以，，
由函数零点存在定理，知在内有零点.
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以在上只有一个零点.
又因为，
所以的图象关于直线对称，
因为的图象关于直线对称，
所以与的图象都关于直线对称，
所以在上只有一个零点.
所以，当时，有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)求得，令，解得，结合导数的符号，即可求解出函数的单调区间；
(2)根据题意转化为函数f (x)与g (x)的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到g (x)的单调性和最值，由(1)知f (x)取最小值f(1)=2，分别分-2
18．【答案】（1）解：当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）解：因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；
(2) 根据题意利用参变分离可得在上有解，令，利用导数求其单调性和最值，根据恒成立问题运算求解，注意时的理解.
19．【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
20．【答案】（1）解：当时，，
所以，
令，则，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以在上成立，
所以在上递增；
（2）解：因为在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
令，则，
当时，当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以
当时，易知，不成立，
当a=0时，成立，
综上：，
所以实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导可得，令，利用导数判断的单调性和最值，进而可得的单调性 ；
(2)根据题意可得，恒成立，令，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解.
21．【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
22．【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
23．【答案】（1）解：当时，，，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当时，．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立，
令，，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以的最大值为，
所以，即实数b的取值范围是．
（3）解：由（2）知，在上恒成立，
当，时，在上恒成立，
取，由得，即，则，
所以，，…，，
上式相加得，，
所以．
又因为当时，，
所以．
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原单调性；
(2) 利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题可得在时恒成立，令，，利用导数求的最大值，即可得解.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023高三下·吉林）已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，则，
由 得， 由 得，，解得(舍去负值)，
，
令，则，令解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，实数的最大值为
故答案为：B
【分析】由题知曲线 与 曲线 在P点的的导数值相等.
2．（2023·黄埔）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，
由题意得
由 得
即
故函数h(x)在R上单调递减.
由 为奇函数得f(0)-2024=0，得f(0) =2024，所以h(0)= f(0)-1 =2023，
由 得即
又因为函数h(x)在R上单调递减，
所以x>0，
因此不等式的解集为 (0， +∞).
故选： D.
【分析】 根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用h(x)在R上单调性求解可得答案.
3．（2022高三上·白山）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构建，
因为，所以为的偶函数，
又因为，当时，，
可得，则在上单调递增，
所以在上单调递减，且，
若 ，即，可得，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：C.
【分析】构建，分析可知为的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，进而根据函数性质解不等式.
4．（2023高三下·梅河口月考）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意可知：函数的定义域为，，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，
则，可得，
则
，
又因为，即，所以或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求a的范围.
5．（2023·嵊州模拟）已知函数，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分段函数的应用
【解析】【解答】当时，，
当时，，
由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，
则，即，
所以，，
令，则，
可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，
可得当时，取得最小值为．
所以的最小值是．
故答案为：B．
【分析】由，且，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设，，由，得，得到，，构造函数，，利用导数求其最小值即．
6．（2023·上虞模拟）已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由 ，
可知a=lnb，c=eb， 则a+c= lnb+ eb，
由正数a、b满足，得b>1.
设(x>1)，
则，
令，则
由指数函数与幂函数可知，与在x>1时均为递增函数
故，即，则在x>1时单调递增
此时
故恒成立，即，
所以f(x)在x∈[1， +∞)上单调递增，
因为b>1，则f(b)>f(1)，即lnb+eb- 2b>0+e-2>0，
故lnb+eb>2b，即a+c>2b，故A选项错误；B选项正确；
令b=e，解得a=1，c=e2，此时ac=e2=b2，故选项C和选项D都错误；
故选： B.
【分析】将a和c都用b表示，构造函数，再利用求导得f(x)在x∈[1， +∞)上单调性，逐项进行判断可得答案.
7．（2022高三上·白山）关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，
则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
对①：在处取得极小值，极小值为，
当时，恒成立，可知在上恒成立，
所以为的最小值，则既有极小值也有最小值，①正确；
对②：因为，，，
所以在和上各有一个零点，
又当时，恒成立，所以f(x)有且只有两个不同的零点，②正确；
对③：因为，图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，
即当时，有且仅有两个不等实根，③错误；
对④：若时，，，结合图象可知：，即t的最小值为2，④正确.
故答案为：C.
【分析】求导后，根据正负可确定的单调性；根据在上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出图象，将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确.
8．（2023高三下·梅河口月考）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，
但时，则在上单调递增，
所以，则.
因为，
所以比较的大小可以比较与，即比较与e，
设，可知在上单调递增，
因为，且，
所以，则，故.
所以.
故答案为：A.
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性可比较b、c，构造函数，利用单调性可比较a、b，然后可得答案.
二、多项选择题
9．（2023·义乌模拟）已知拋物线，点均在抛物线上，点，则（ ）
A．直线的斜率可能为
B．线段长度的最小值为
C．若三点共线，则存在唯一的点，使得点为线段的中点
D．若三点共线，则存在两个不同的点，使得点为线段的中点
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】 设 ，在抛物线上，
假设直线的斜率可能为 ，则，则
由△=100-120<0，得该方程无解，则直线PA的斜率不可能为，故A错误；
，令y=m4+(m-3)2，则y'=4m3+2(m-3)，y''=12m2+2>0，
故y'单调递增，由得当m>1，y'>0，y单调递增，
当m<1时，y'<0，y单调递减，故当m=1时，y=m4+(m-3)2取最小值5 ，
故最小值为 ，故B正确；
若P，A，B三点共线，A为线段PB的中点，则0+n2=2m2，3+n = 2m，
即
即
故有两个不相等的实数根，所以满足条件的点B不唯一，故C错误，D正确.
故选：BD.
【分析】 根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根的情况可判断A；由两点距离公式，结合导数求单调性确定最值可判断B；根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断C、D.
10．（2023·上虞模拟）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（ ）
A．在上是增函数 B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对于A， ，，由，故 上必存在的区间，此时为减函数，故A错误；
对于B，易知，即该函数的最小正周期为，设 x∈[0，2π]，令f'2(x)= (2cosx- 1)(cosx+1)=0得或-1，所以或π或，此时，，，故最大值为，故B错误；
对于C， ，故 是 的最小正周期 ，故C正确；
对于D，利用放缩法可得D正确.
【分析】 利用导数研究单调性，在一个周期内研究极值、端点处的函数值进而求出最值，利用周期函数的定义判断周期，由此逐项进行判断，即可得答案.
11．（2023·广州模拟）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对选项A： ， ，
函数在 在上为减函数，则 ，解得 ，正确；
对选项B：函数 的对称中心为，则f(1)=1-a-1+1=-2 ，a=3 ，错误；
对选项C： ， ，
当 时，f'(x)>0 ，函数单调递增；
当 时，f'(x)<0 ，函数单调递减；
当 时，f'(x)>0 ，函数单调递增；
，
故 ，
要证 ，即 ，
整理得到 ，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为(x0，y0) ，则 ， ，
则切线方程为 ，
将(-1，n)代入上式，整理得 ，方程有三个不同解，
设 ，则 ，
当 时，g'(x)<0 ，函数单调递增；
当 时，g'(x)>0，函数单调递减；
当 时，g'(x)<0，函数单调递增；
极小值g(-1)=0 ，极大值 ，故 ，正确；
故选：ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到a=3，B错误，求导得到函数的单调区间，确定 ，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到 ，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
12．（2023·柯桥模拟）若函数为函数的导函数，且对于任意实数，均有，且，则（ ）
A．函数不可能为奇函数 B．存在实数M，使得
C．存在实数N，使得 D．函数不存在零点
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由已知可得，即，
所以，令，则，
令则
所以，则
令
则
所以不为奇函数，故A正确；依题意 ， 则可得，使得，则f(x)在递减，递增，则取，
则存在N，使得，故C正确；
因为当时，不存在M，使得f(x)=M，故B错误；
由可得：所以函数y=f(x)存在零点，故D错误。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合转化法、换元法和构造法，再结合函数的一阶导数与二阶导数的分析构造符合题意的具体函数，再由奇函数的定义判断A；求导的方法判断函数的单调性得出函数的最值判断B、C，再结合零点存在性定理判断函数零点个数判定D。
三、填空题
13．（2023高三下·梅河口月考）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】设函数的零点为t，则，则点在直线上.
因为表示与的距离的平方，
所以的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，
即，
令，
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，，
则
所以，的最小值为.
故答案为：.
【分析】设函数的零点为t，则，则点在直线=0上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得.
14．（2023·义乌模拟）若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 由题意知两曲线 与 有公切线，a=0时，两曲线 与 ，不合题意；
的导数y'=2x，的导数为
设公切线与相切的切点为(n，n2)，与曲线相切的切点为(m，alnm)，
则切线方程为y-n2= 2n(x- n)，即y=2nx-n2
切线方程也可写为即，
故，即，得，故有解，
令g(x)=x2(1 - lnx)，(x> 0)，
则
令g'(x)= 0可得，当时，g'(x)>0，当时，g' (x)< 0，
故g(x)在(0，)是增函数，在(， +∞)是减函数，
故g(x)的最大值为
故，即
故实数a的最大值为2e.
故答案为： 2e.
【分析】设公切线与相切的切点为(n，n2)，与曲线相切的切点为(m，alnm)，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得，故可得有解，令g(x)=x2(1 - lnx)，(x> 0)，利用导数求得其最值，即可求得实数的最大值 .
15．（2023·上虞模拟）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 设 x0是 的零点
则f(x0)=， x0∈[2，3]
∴，则
令
当时，
令
，当时，，且1-在x0∈[2，3]上递减
因此h(x0)在[2，e]上递增，在[e，3]上递减，
故
所以
所以ab的最大值为
【分析】设F(x0)=0， x0∈[2.3]，得，构造函数，再根据二次函数的性质可得，令，求导，根据导数的符号可得函数在 上的单调性，进而求出，即可求得，即可得ab的最大值.
16．（2022高三上·白山）已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
若关于x的方程有3个不同实根， 则与有 3个不同 的交点，
如图所示，实数取值范围为.
故答案为：.
【分析】分，两种情况，利用导数判断分段的单调性和最值，根据题意可得与有 3个不同 的交点，数形结合处理问题.
四、解答题
17．（2023·黄埔）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）解：由，可得，
令，解得，
当时，则，可得，在单调递减；
当时，则，可得，在单调递增；
故函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）解：由，得，
因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，
因为，所以的递增区间是，递减区间是，
所以当时，取最大值，
由（1）可知，当时，取最小值，
当，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点；
当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点；
当，即时，函数有两个零点，
理由如下：
因为，
所以，，
由函数零点存在定理，知在内有零点.
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以在上只有一个零点.
又因为，
所以的图象关于直线对称，
因为的图象关于直线对称，
所以与的图象都关于直线对称，
所以在上只有一个零点.
所以，当时，有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)求得，令，解得，结合导数的符号，即可求解出函数的单调区间；
(2)根据题意转化为函数f (x)与g (x)的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到g (x)的单调性和最值，由(1)知f (x)取最小值f(1)=2，分别分-218．（2022高三上·白山）已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）解：因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；
(2) 根据题意利用参变分离可得在上有解，令，利用导数求其单调性和最值，根据恒成立问题运算求解，注意时的理解.
19．（2022高三上·白山）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
20．（2022高三上·白山）已知：函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
所以，
令，则，
当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以在上成立，
所以在上递增；
（2）解：因为在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
令，则，
当时，当时，，递减；
当时，，递增；
所以取得最小值，
所以
当时，易知，不成立，
当a=0时，成立，
综上：，
所以实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导可得，令，利用导数判断的单调性和最值，进而可得的单调性 ；
(2)根据题意可得，恒成立，令，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解.
21．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
22．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
23．（2022高三上·白山）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设时，证明：．
【答案】（1）解：当时，，，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当时，．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立，
令，，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以的最大值为，
所以，即实数b的取值范围是．
（3）解：由（2）知，在上恒成立，
当，时，在上恒成立，
取，由得，即，则，
所以，，…，，
上式相加得，，
所以．
又因为当时，，
所以．
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原单调性；
(2) 利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题可得在时恒成立，令，，利用导数求的最大值，即可得解.
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