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1.1 正数与负数（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、正数和负数的概念】
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，－a是负数；当a表示负数时，－a是正数；当a表示0时，－a仍是0．（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a，－a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写．所以省略“+”的正数的符号是正号．
【知识点二、具有相反意义的量】
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：－8℃
【知识点三、0表示的意义】
（1）0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
（2）0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数．
（3）0表示一个确切的量．如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面．
【重点题型】
考点1：正数与负数
例1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ）
A． B．0 C．0.5 D．3
【变式训练1-1】．下列各数中，是负数的是（ ）
A． B．0 C． D．3
【变式训练1-2】．下列各数中，是负数的是（ ）
A．0 B． C．5 D．
【变式训练1-3】．在，，，0，4.5，中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：相反意义的量
例2．如果水位下降了记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】．如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】．如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A． B． C． D．
考点3：古典文化中的正数与负数
例3．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【变式训练3-1】．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示( )
A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元
【变式训练3-2】．我国是最早使用负数的国家，著名的古代数学著作《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果小青某天上午卖家中废品，收入20元记作+20元，那么她下午支出15元购买数学科普书记作（ ）
A．+元 B．-元 C．-15元 D．+15元
【变式训练3-3】．筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数图中算式一表示的是（+2）+（﹣4）＝﹣2，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：正负数在实际生活中的应用
例4．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20
(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 件；
(2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？
【变式训练4-1】．某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，，
(1)求小芳周三的学习积分是多少？
(2)小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？
(3)这一周小芳的分数累计为多少分？
【变式训练4-2】．下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：
姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文
成绩 89 84
与全班平均分之差
(1)把表格补充完整；
(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率
【变式训练4-3】．某课外学习小组测量一座公路桥的长度，五位同学测量的数据分别为：，，，，．
(1)求这五次测量的平均值．
(2)如果以求出的值为基准数，请你用正、负数表示出每位同学测量的数值与平均值的差．
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1.1 正数与负数（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、正数和负数的概念】
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，－a是负数；当a表示负数时，－a是正数；当a表示0时，－a仍是0．（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a，－a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写．所以省略“+”的正数的符号是正号．
【知识点二、具有相反意义的量】
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：－8℃
【知识点三、0表示的意义】
（1）0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
（2）0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数．
（3）0表示一个确切的量．如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面．
【重点题型】
考点1：正数与负数
例1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ）
A． B．0 C．0.5 D．3
【答案】A
【分析】根据负数的定义即可求解．
【详解】解：由题意得，在，0，0.5，3四个数中，是负数的是，
故选A．
【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义．
【变式训练1-1】．下列各数中，是负数的是（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【分析】比0小的数叫做负数，判断四个选项与0的大小即可．
【详解】解：A、，是负数；
B、，既不是正数，也不是负数；
C、，是正数；
D、，是正数；
故选：A．
【点睛】此题考查了负数的定义，解题的关键是正确理解定义．
【变式训练1-2】．下列各数中，是负数的是（ ）
A．0 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据小于0的数是负数即可判断．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意；
B、，是负数，故选项符合题意；
C、，5是正数，故选项不符合题意；
D、，是正数，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键．
【变式训练1-3】．在，，，0，4.5，中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正数前面加上负号的数是负数判断即可．
【详解】解：在，，，0，4.5，中，负数有，，共三个，
故选：C．
【点睛】本题考查了负数的定义，解题关键是熟记正数前面加上负号的数是负数．
考点2：相反意义的量
例2．如果水位下降了记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据具有相反意义的量可以用正负数表示即可解答．
【详解】解：如果水位下降了记作，那么水位上升记作．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正负数在实际生活中的应用，明确具有相反意义的量可以用正负数表示是关键．
【变式训练2-1】．月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．
【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
【变式训练2-2】．如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据具有相反意义的量即可得．
【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，
故选：C．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．
【变式训练2-3】．如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案．
【详解】解：因为°C表示零上10度，
所以零下8度表示“”．
故选B
【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义．
考点3：古典文化中的正数与负数
例3．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
【变式训练3-1】．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作元，则元表示( )
A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元
【答案】C
【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解．
【详解】解：收入100元记作元，则元表示支出55元，
故选：C．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键．
【变式训练3-2】．我国是最早使用负数的国家，著名的古代数学著作《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果小青某天上午卖家中废品，收入20元记作+20元，那么她下午支出15元购买数学科普书记作（ ）
A．+元 B．-元 C．-15元 D．+15元
【答案】C
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果小青某天上午卖家中废品，收入20元记作+20元，那么她下午支出15元购买数学科普书记作-15元．
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【变式训练3-3】．筹算是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数图中算式一表示的是（+2）+（﹣4）＝﹣2，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用正数负数的应用，列出式子即可解答.
【详解】∵白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，
∴算式二中的值为1，
A．1+4-3=2，不符合，
B.1+3-3=1,符合题意，
C.1+5-3=3,不符合，
D.1+4-2=3,不符合，
故选B.
【点睛】此题考查正数和负数的应用，解题关键在于理解题意列出式子.
考点4：正负数在实际生活中的应用
例4．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20
(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 件；
(2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？
【答案】(1)35
(2)84500元
【分析】（1）根据正负数的意义确定星期日的产量最多，星期四的产量最少，然后用星期日的产量减去星期四的产量即可；
（2）求出一周产量的和，然后根据工资总额的计算方法，列式计算即可．
【详解】（1）（件），
∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件，
故答案为：35．
（2）
（件），
（元），
∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元．
【点睛】本题考查了正数和负数，理解“用正数和负数表示具有相反意义的量”是解决本题的关键．
【变式训练4-1】．某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，，
(1)求小芳周三的学习积分是多少？
(2)小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？
(3)这一周小芳的分数累计为多少分？
【答案】(1)小芳周三的积分为分
(2)星期天的积分最少为分，星期一的积分最多为分
(3)小芳一周的积分为分
【分析】（1）根据正负数的计算得出结论即可；
（2）根据正负数的计算得出结论即可；
（3）根据正负数的计算得出结论即可．
【详解】（1）解：（分），
答：小芳周三的积分为分；
（2）解：星期天的积分最少为（分），
星期一的积分最多为（分），；
（3）解：（分），
（分），
答：小芳一周的积分为分．
【点睛】本题主要考查正负数的概念及计算，熟练掌握正负数的概念及计算是解题的关键
【变式训练4-2】．下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：
姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文
成绩 89 84
与全班平均分之差
(1)把表格补充完整；
(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率
【答案】(1)86，78，82，
(2)
【分析】根据有理数加减法在实际问题中的应用，可知高于基准为正，低于基准为负，有张沂可知，平均分为 分，由此即可求出其他同学的成绩，由合格人数除以总人数乘以百分比即可求出答案．
【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为84分，
∴刘兵成绩：（分），李聪成绩：（分），江文成绩：（分），王芳成绩：，
故答案是：86，78，82，；
（2）解：平均分为 分，合格有刘兵，张沂，王芳，
∴合格率是：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查有理数的加减法的应用，以及合格率的计算，解题的关键的找出“基准”，且“高于基准为正，低于基准为负”．
【变式训练4-3】．某课外学习小组测量一座公路桥的长度，五位同学测量的数据分别为：，，，，．
(1)求这五次测量的平均值．
(2)如果以求出的值为基准数，请你用正、负数表示出每位同学测量的数值与平均值的差．
【答案】(1)这五次测量的平均值为263m
(2)各次测量数据与平均值的差分别为：
【分析】（1）将五次测量的数据相加再乘即可求出平均值；
（2）用每次测量的数据减去基准数即可求解．
（1）
，
所以，这五次测量的平均值为263m．
（2）
若以263为基准数，
∴各数与其的差分别为
，
所以，各次测量数据与平均值的差分别为：．
【点睛】本题考查了正数和负数的意义，涉及平均数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
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