广东省风度中学高二理科数学培优试题（立体几何）

广东省风度中学高二理科数学培优试题（立体几何）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知直线,平面,给出下列命题中正确的是( )
(1) 若,则;
(2) 若,则;
(3) 若,则;
(4) 若异面直线互相垂直,则存在过的平面与垂直．
Ａ．（２）（３）　Ｂ．（１）（３）　Ｃ．（２）（４）　Ｄ．（３）（４）
2. 下图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,
根据图中尺寸(单位:),可知这个几何体的表面积是 ( )
A. B.
C. D.
3．已知直线、,平面，则下列命题中是假命题的是
A．若，,则； B．若，,则；
C．若，,则； D．若，,,,则.
4．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为
A． 　 B． 　 C． 　　 D．
5.各个面都是正三角形的四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，那么这个四面体的体积为
A. B. C. D.
6.已知正四棱锥的侧棱与底边的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
7. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A．异面 B. 相交 C. 平行 D. 不确定
8．三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为
A． 300 B． 450 C．600 D．900
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9．如图,已知Ｐ是二面角棱上的一点，
分别在平面上引射线，如果，．
那么的大小为．
10．如图,正方体,
有以下四个结论:
① ②
③ 与面成角; ④ 与是异面直线.
其中正确结论的序号是________________________________.
11.空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB和CD成角,E,F分别是BC,AD的中点,则EF和AB所成的角是 。
12.矩形ABCD中，，沿对角线AC?将△折起，使　垂直，则异面直线间的距离等于　　　　．
13．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .
14．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题12分）已知长方体中，棱
棱，连结，过
点作的垂线交于，交于．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与直线所成角的正弦值．
16. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求点到平面的距离.
17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，
，.是的中点.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
18．（本小题满分14分）如图，在正方体中，E、F分别是BB1的中点．
（１）证明；
（２）求与所成的角；
（３）证明：面面
19.(本小题满分14分)如图，矩形与所在平面垂直，将矩形沿对折，使得翻折后点落在上，设，，.

试求关于的函数解析式；
当取最小值时，指出点的位置，并求出此时与平面所成的角；
(3)在条件(2)下，求三棱锥P-ADQ内切球的半径。
20．（本小题满分14分）如图，梯形中，，，是的中点，将沿折起，使点折到点的位置，且二面角的大小为。
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离。
数学参考答案
DCCCABCD
①③ 75或15， 9π 180°
15.（1）证:以A为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系,那么
、、、、、、、
，，，………（2分）
设，则：，，，，，，，，，………（４分）
又 平面．………（５分）
(2)连结,A到平面的距离,即三棱锥的高,设为h, ……（６分）,,由
得: ,,………（８分）
点A到平面的距离是．………（９分）
（3）连结，，平面，
是在平面上的射影，是与平面所成的角，………（1１分）
设，那么，
① ， ② 由①、②得，，………（1２分）
在中，．，因此，与平面所成的角的正弦值是．………（1４分）
16．解：（1）由条件得
……………..2分
…………………4分
…………………………………….5分
（2）取的中点 ，连接.则，
或其补角为所成角……………………………………….7分
,……………………..9分
……………………………………………….10分
(3) 设到面的距离为，过作，则.
,,……………………………12分.
…………………………………………………………………………14分
17.解法一：（Ⅰ） …………2分
而 ……………4分
………………………5分
（Ⅱ）连结、，取中点， 连结 ， 则,
∵平面， ∴平面，
过作交于，连结，
则就是二面角所成平面角. ………………………7分
由，则.
在中， 解得
因为是的中点，所以 ………………………8分
而，由勾股定理可得 ………………………9分
………………………10分
（Ⅲ）连结，在三棱锥中，
……………………12分
点到底面的距离，
则由，即………13分
求得
所以点到平面的距离是. ………………………14分
解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)，
(0，2，1)，(0，0，2). ………………………2分
∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)， ＝(－2，0，0)，
＝(0，2，1) ，＝(2，4，0)， 　 　 ………………………3分
（Ⅰ）
又 　 ………………………5分

而
∴平面⊥平面.　　　　　　　　　 ………………………7分
（Ⅱ）设平面的法向量
由即
∴=. ………………………9分
平面的法向量＝(0，0，2)，
所以二面角所成平面角的余弦值是. ……………………11分
（Ⅲ） 设点到平面的距离为，
＝(2，0，0)， =. ………………………12分
则=
所以点到平面的距离是. ………………………14分
18． 方法1（坐标法解答前两问）
（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得 （1分）
D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A1(2a,0,2a)
=（-2a,0,0）, =(0, a, -2a),
∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0, （4分）
∴，即。 （5分）
（2）解：∵，=(0, a, -2a),
∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0
∴cos<,>==0, （8分）
即,的夹角为90°，所以直线AE与D1F所成的角为直角。.（10分）
（3）证明：由（1）、（2）知D1F⊥AD，D1F⊥AE, 而AD∩AE=A，
∴D1F⊥平面AED， （12分）
∵D1F平面A1FD1，
∴平面AED⊥平面A1FD1. （14分）
方法2（综合法）
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1。 （2分）
又DF1DC1，所以AD⊥D1F. （5分）
（2）取AB中点G，连结A1G，FG， （6分）
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 （8分）
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。 （10分）
（3）与上面解法相同。
19. 解：(1)显然，连接，∵，，
∴.由已知，∴，.
∵∽， ，
∴ 即 .
∴.
(2)
当且仅当时，等号成立.此时，即为的中点.于是由，知平面，是其交线，则过作
。
∴就是与平面所成的角.由已知得，，
∴， , .
(3) 设三棱锥的内切球半径为，则
∵，，，，，
∴.
20．解： (1) 连结交于，连结，
∵ ∴
又 ∵ ∴ ，即平分，
∵ 是等边三角形
∴ ，，，。
(2) 过作于，连接，设，则
∵ ∴ ，
就是直线与平面所成的角
∵ 是二面角的平面角 ∴
在中
(3) ∵ 在平面外， ∴
点到平面的距离即为点到平面的距离，
过点作，垂足为，
∵ ∴ ，
，的长即为点到平面的距离。
在菱形中 ，，
，