2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.2 平面向量的运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·浙江月考）已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·四川期末）在平行四边形ABCD中， （ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·潍坊期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·江西期中）①；②；③．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021高一下·湛江期末）在等边 中，点 在中线 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高一下·浙江期中）化简 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·杭州期中）平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一下·金湖月考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2017高三上·嘉兴期末）设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （ ）
A．12 B．6 C．3 D．
10．（2021高三上·洮南月考）设 为基底向量，已知向量 ， ， ，若 三点共线，则实数 的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
11．（2018高一下·柳州期末）如图，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
12．（2018·银川模拟）若 是非零向量,则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2018高一下·威远期中）已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020高二上·大连期末）已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则 （ ）
A． B． C． D．
15．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
16．（2022高一下·肇庆期末）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022高一下·宁波期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022高二下·福州期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
19．（2022高一下·深圳月考）如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022高一下·柳林期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
21．（2019高一上·厦门月考）下列四式中能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021高一下·湖南期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
C．若 ，则存在唯一实数 使得
D．若 是三角形 的重心，则
23．（2022高一下·丽水期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
24．（2021高二上·抚松开学考）如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若 ，则 ＝ .
25．（2021高二上·肥城期中）已知四面体 分别是 的中点，且 ， ， ，则用 表示向量 ．
四、解答题
26．（2020高一下·北京期中）如图所示，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 的中点，已知 ，试用 表示
27．（2020高一下·忻州期中）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 .
（1）用向量 与 表示向量 ；
（2）若 ，求证：C，D，E三点共线.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】解：将式子两边平方：
因此：
即投影向量为，
故答案为：B
【分析】根据向量的模长，结合向量的数量积运算率可得，进而求投影向量.
2．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】根据向量的加法、减法运算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：D
【分析】利用向量的运算法则求解可得答案.
4．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确；
对②，，故②正确；
对③，，故③正确.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合三角形法则，进而得出正确的个数。
5．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解。
6．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据题意可知，
.
故答案为：A.
【分析】由向量的加法、减法运算可直接求得结果。
7．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】在平行四边形ABCD中，，所以，
故答案为：B.
【分析】由相等向量，代入即可求结果。
8．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C不符合题意；
对于D， ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 对于A，利用向量的减法，可得；对于B，结果应该是 ；对于C，结果是 ；对于D，利用向量的加法法则，可得结论。
9．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】 ,
故答案为：C．
【分析】根据向量的三角形法则即可求出答案．特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
10．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵ABD三点共线，所以存在实数入，使得
，即
则1=λ且-k=-2λ，
解得k=2.
故答案为：A
【分析】根据向量的运算，结合共线向量的充要条件求解即可.
11．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：由 可以得到 ，
整理得 ，
故答案为：D.
【分析】根据向量的减法及其几何意义，结合平面向量基本定理得到结果．
12．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由条件知 ，不一定有 ，由向量的加法法则得到，两个模长相等的向量相加得到的和与差向量是作为四边形的对角线的，而对角线不一定相等；反之 ，两边平方可得两个向量垂直，四边形对角线相等，但是不一定有边长相等，故也不能反推。故是既不充分也不必要条件.
故答案为：D。
【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，故四边形为正方形或长方形，由此可得 的夹角为90°，
故答案为：A.
【分析】根据条件，得到由两个向量为邻边组成的四边形是正方形或长方形，得到特殊的关系．
14．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】因为点 是正方形 的中心，所以 分别为 ， 的中点，
所以在 中， ，
同理，在 中， ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由 分别为 ， 的中点，可得，同理可得，即可得答案。
15．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】，因为是的中点，，所以，
== ，
＝，故选C.
16．【答案】B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】如图，
由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可知M，N是线段AC上的三等分点，
由三角形相似可得M，N分别是线段BE、BF上的三等分点，
所以，B符合题意，A不符合题意；
，又，，所以，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：BC.
【分析】由已知条件结合向量的加减运算性质，结合题意计算出结果即可。
17．【答案】A,B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，
则四边形为平行四边形，，A符合题意；
对于B，为中点，，B符合题意；
对于C，为的中点，，C不正确；
对于D，由A知，，，D不正确.
故答案为：AB
【分析】由已知条件结合向量的加减运算性质，结合题意由中的的性质整理化简即可得出答案。
18．【答案】B,D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据题意由向量的加减运算性质结合平行六面体的几何性质，由三点共线以及四点共面的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
19．【答案】B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】由已知可得
，D不符合题意；
因为P，Q，R分别是
三边的AB，BC，CA的四等分点，
由 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意已知条件结合向量的加减运算性质，对选项逐一判断即可得出答案。
20．【答案】B,C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以，
因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，
所以，
则，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．
故答案为：BC．
【分析】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，得，求解可得答案.
21．【答案】A,D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】 ，A符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据向量的加减法法则化简各选项即可得结果．
22．【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】若 可满足“ ， ”，但 不一定成立， A不符合题意；
根据向量减法几何意义，当 ，则 与 共线且反向， B对；
若 可满足 ，但不满足存在唯一实数 使得 ， C不符合题意；
如图所示：
，
D对．
故答案为：BD．
【分析】 若可判断A；根据向量减法几何意义可判断B；若可判断C；根据重心特点可判断D.
23．【答案】A,B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】对于A，因为，因为，所以，所以A符合题意；
对于B，因为，而，代入可得，，所以B符合题意；
对于C，因为，而，代入得，，C符合题意；
对于D，因为，而，所以，所以D不正确；
故答案为：ABC．
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件整理化简即可得出答案。
24．【答案】（－3，－5）
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】 ，
．
故答案为： .
【分析】 根据题意，由 求出向量 的坐标，由，即可得 的坐标，计算可得答案.
25．【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：如图：
.
故答案为： .
【分析】 利用空间向量的加法和减法法则可得出 关于 的表达式.
26．【答案】解： ，
解得
所以 ，
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，用 ， 表示出 ， ，解方程组即可得到答案.
27．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
.
（2）解：
，
∴ 与 平行，
又∵ 与 有共同点C，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出 ， ，即可用 、 表示；（2）由 ，只需找到 与 的关系，即可得证.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.2 平面向量的运算 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·浙江月考）已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】解：将式子两边平方：
因此：
即投影向量为，
故答案为：B
【分析】根据向量的模长，结合向量的数量积运算率可得，进而求投影向量.
2．（2021高一下·四川期末）在平行四边形ABCD中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】根据向量的加法、减法运算求解即可.
3．（2022高二上·潍坊期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：D
【分析】利用向量的运算法则求解可得答案.
4．（2022高一下·江西期中）①；②；③．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确；
对②，，故②正确；
对③，，故③正确.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合三角形法则，进而得出正确的个数。
5．（2021高一下·湛江期末）在等边 中，点 在中线 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解。
6．（2021高一下·浙江期中）化简 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据题意可知，
.
故答案为：A.
【分析】由向量的加法、减法运算可直接求得结果。
7．（2021高一下·杭州期中）平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】在平行四边形ABCD中，，所以，
故答案为：B.
【分析】由相等向量，代入即可求结果。
8．（2021高一下·金湖月考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】对于A， ，A不符合题意；
对于B， ，B不符合题意；
对于C， ，C不符合题意；
对于D， ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 对于A，利用向量的减法，可得；对于B，结果应该是 ；对于C，结果是 ；对于D，利用向量的加法法则，可得结论。
9．（2017高三上·嘉兴期末）设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （ ）
A．12 B．6 C．3 D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】 ,
故答案为：C．
【分析】根据向量的三角形法则即可求出答案．特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
10．（2021高三上·洮南月考）设 为基底向量，已知向量 ， ， ，若 三点共线，则实数 的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加减混合运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
∵ABD三点共线，所以存在实数入，使得
，即
则1=λ且-k=-2λ，
解得k=2.
故答案为：A
【分析】根据向量的运算，结合共线向量的充要条件求解即可.
11．（2018高一下·柳州期末）如图，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：由 可以得到 ，
整理得 ，
故答案为：D.
【分析】根据向量的减法及其几何意义，结合平面向量基本定理得到结果．
12．（2018·银川模拟）若 是非零向量,则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由条件知 ，不一定有 ，由向量的加法法则得到，两个模长相等的向量相加得到的和与差向量是作为四边形的对角线的，而对角线不一定相等；反之 ，两边平方可得两个向量垂直，四边形对角线相等，但是不一定有边长相等，故也不能反推。故是既不充分也不必要条件.
故答案为：D。
【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．（2018高一下·威远期中）已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，故四边形为正方形或长方形，由此可得 的夹角为90°，
故答案为：A.
【分析】根据条件，得到由两个向量为邻边组成的四边形是正方形或长方形，得到特殊的关系．
14．（2020高二上·大连期末）已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】因为点 是正方形 的中心，所以 分别为 ， 的中点，
所以在 中， ，
同理，在 中， ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由 分别为 ， 的中点，可得，同理可得，即可得答案。
15．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】，因为是的中点，，所以，
== ，
＝，故选C.
二、多项选择题
16．（2022高一下·肇庆期末）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】如图，
由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似可知M，N是线段AC上的三等分点，
由三角形相似可得M，N分别是线段BE、BF上的三等分点，
所以，B符合题意，A不符合题意；
，又，，所以，C符合题意，D不符合题意．
故答案为：BC.
【分析】由已知条件结合向量的加减运算性质，结合题意计算出结果即可。
17．（2022高一下·宁波期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，
则四边形为平行四边形，，A符合题意；
对于B，为中点，，B符合题意；
对于C，为的中点，，C不正确；
对于D，由A知，，，D不正确.
故答案为：AB
【分析】由已知条件结合向量的加减运算性质，结合题意由中的的性质整理化简即可得出答案。
18．（2022高二下·福州期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
【答案】B,D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据题意由向量的加减运算性质结合平行六面体的几何性质，由三点共线以及四点共面的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
19．（2022高一下·深圳月考）如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】由已知可得
，D不符合题意；
因为P，Q，R分别是
三边的AB，BC，CA的四等分点，
由 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意已知条件结合向量的加减运算性质，对选项逐一判断即可得出答案。
20．（2022高一下·柳林期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（ ）
A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h
【答案】B,C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以，
因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，
所以，
则，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．
故答案为：BC．
【分析】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，得，求解可得答案.
21．（2019高一上·厦门月考）下列四式中能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】 ，A符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据向量的加减法法则化简各选项即可得结果．
22．（2021高一下·湖南期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
C．若 ，则存在唯一实数 使得
D．若 是三角形 的重心，则
【答案】B,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】若 可满足“ ， ”，但 不一定成立， A不符合题意；
根据向量减法几何意义，当 ，则 与 共线且反向， B对；
若 可满足 ，但不满足存在唯一实数 使得 ， C不符合题意；
如图所示：
，
D对．
故答案为：BD．
【分析】 若可判断A；根据向量减法几何意义可判断B；若可判断C；根据重心特点可判断D.
23．（2022高一下·丽水期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】对于A，因为，因为，所以，所以A符合题意；
对于B，因为，而，代入可得，，所以B符合题意；
对于C，因为，而，代入得，，C符合题意；
对于D，因为，而，所以，所以D不正确；
故答案为：ABC．
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件整理化简即可得出答案。
三、填空题
24．（2021高二上·抚松开学考）如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若 ，则 ＝ .
【答案】（－3，－5）
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】 ，
．
故答案为： .
【分析】 根据题意，由 求出向量 的坐标，由，即可得 的坐标，计算可得答案.
25．（2021高二上·肥城期中）已知四面体 分别是 的中点，且 ， ， ，则用 表示向量 ．
【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：如图：
.
故答案为： .
【分析】 利用空间向量的加法和减法法则可得出 关于 的表达式.
四、解答题
26．（2020高一下·北京期中）如图所示，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 的中点，已知 ，试用 表示
【答案】解： ，
解得
所以 ，
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，用 ， 表示出 ， ，解方程组即可得到答案.
27．（2020高一下·忻州期中）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 .
（1）用向量 与 表示向量 ；
（2）若 ，求证：C，D，E三点共线.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
.
（2）解：
，
∴ 与 平行，
又∵ 与 有共同点C，
∴ ， ， 三点共线.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出 ， ，即可用 、 表示；（2）由 ，只需找到 与 的关系，即可得证.
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