2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·河北期末）已知，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．－1 B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得，又 ， ，，.
故答案为：A.
【分析】对 两边平方结合求 与夹角 .
2．（2023高一下·黄浦期末）已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
则在方向上的数量投影为，在方向上的数量投影，
若，则成立，充分性成立；
若，不能推出成立，
例如，时，
满足，而不成立，所以必要性不成立，
故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件，
故答案为：A.
【分析】设与的夹角为，结合向量的数量投影的几何意义判断充分性，利用特例法判断必要性，从而可得答案.
3．（2023高一下·嘉兴期末）已知向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量平行的坐标表示运算求解.
4．（2023高一下·绍兴期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
5．（2023高一下·台州期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量平行的坐标表示运算求解.
6．（2023高一下·绍兴月考）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A.∵，1
∴，，故A错误；
B.∵，∴，故B错误；
C.∵，
∴与不平行，故C错误；
D.∵，∴，故D正确．
故选：D．
【分析】 根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB选项；利用共线向量的坐标表示判断C选项；利用垂直关系的坐标表示判断D选项．
7．（2023高一下·成都期末）已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】根据题意，设与的夹角为，
将 两边平方得到
已知，是单位向量 ，故解得= .
故选择：C.
【分析】由数量积公式求解两个向量的夹角. 通过平方变形得到数量积，已知模长（单位向量）可求出夹角.
8．（2023高三上·广州月考）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 为的重心 ，则
又因为在中，，
所以，
则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据重心的性质可知，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
9．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：设，则，因为，
所以
又因为，所以，即，
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先利用向量的运算以及数量积的定义求出，再结合余弦函数的值域即可求解范围.
10．（2023高一下·广州期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为，则点P为的重心，
取BC的中点D，
则，整理得，
所以，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解.
11．（2023高一下·嘉兴期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】由题意可得：，
，
，
对A：；
对B：
因为，则，可得，
即；
对C：
因为，则，可得，
即；
对D：，
因为，则，可得，
即；
综上所述：最小的.
故答案为：D.
【分析】以为基底向量表示，根据题意结合数量积的运算律分析判断.
二、多项选择题
12．已知单位向量，满足，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．向量，的夹角为 D．在上的投影向量为
【答案】A,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据单位向量，满足，将其两边平方得，所以，故A正确；
因为，所以不垂直，故B错误；
根据向量夹角公式，，所以向量，的夹角为，故C错误；
根据投影向量的定义得： 在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先将两边平方化简再结合数量积得运算律，判断A；根据是否成立，判断B；根据数量积夹角计算公式判断C；根据投影向量的定义，判断D.
13．（2023高一下·上饶期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则，
所以的取值范围是 ，故A正确；
对于B：由题意可得：，其中，
且，可得 ，则在方向上的投影数量为，
当时，则；当时，则；
综上所述：在方向上的投影数量的取值范围是，故B错误；
对于C：因为，
则，当且仅当，，反向时，等号成立，
所以的最大值是 ，故C正确；
对于D：因为，则，
当且仅当同向共线，且时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A：根据向量模长的坐标运算结合三角函数的性质分析判断；对于B：根据向量的投影数量公式结合三角函数分析判断；对于C、D：根据向量模长的三角不等式以及基本不等式分析判断
14．（2023高一下·海南期末）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，，都有
B．对任意非零向量，，都有
C．若向量，满足，则
D．若非零向量，满足，则
【答案】A,C
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对A：设，因为，所以 ，故A正确；
对B：当向量，同向时，，故B错误；
对C：若，则，所以，故C正确；
对D：若非零向量，满足，则，
所以，，
因为，所以，即 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据数量积定义和三角函数有界性判断；对B：由向量三角不等式等号成立条件判断；对C：根据向量垂直的充要条件推导判断；对D：根据已知分别计算 ，即判断.
15．（2023高一下·宁波期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，则
D．
【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A、 当时，有，，但不一定与平行， A错误；
B、 ，B正确；
C、 ，，有 ，C正确；
D、 是与向量共线的向量 ，是与向量共线的向量，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据向量的基本概念，逐一判断各选项.
16．（2023高一下·台州期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点E是AD的中点时，
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．若，，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】对A：当点E是AD的中点时，，故A正确；
对D：因为，则，可得，
所以，故D正确；
可得，
对B：因为
，
且，则，
所以与不垂直，故B错误；
对C：因为，
可得
，
且，当时，的最小值为，故C正确；
故答案为：ACD.
【分析】对AD：根据题意利用向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；对BC：根据数量积的定义以及运算律运算求解.
三、填空题
17．如果平面向量，那么向量在上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ， ，，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先求出，，再利用投影向量公式向量在上的投影向量为代入计算.
18．已知平面向量，，.若，则x＝ .
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：根据向量的坐标运算得：，因为，则，解得.
故答案为：-2.
【分析】根据向量坐标运算以及向量共线的充要条件列出方程，求解即可.
19．已知，，与平行，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
20．（2023高二下·安康月考）已知向量，满足，，则 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知条件可得
故答案为：
【分析】利用平面向量的模和数量积的定义即可求解.
21．已知平面向量，，，，，则的值是 .
【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】设，求出向量，再根据向量距离求出.
22．已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
四、解答题
23．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，
（1）试用表示向量与；
（2）求的值.
【答案】（1）解：如图，因为点是边的中点，所以，
则，
同理，.
（2）解：由（1）可知，，，
又因为为矩形，所以，
则.
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
24．（2023高一下·上饶期末）已知，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：由已知得，，
∵，∴，
∴.
（2）解：由已知得，，，
∵，∴，
∴.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合向量的坐标运算结合向量的平行的坐标运算求解；
(2) 根据题意结合向量的坐标运算结合向量的垂直的坐标运算求解.
25．（2023高一下·黄浦期末）如图，已知为平行四边形．
（1）若，，，求及的值；
（2）记平行四边形的面积为，设，，求证：
【答案】（1）解：在平行四边形中，
所以
，
即，解得，
所以
（2）证明：因为，将两边平方可得，
又，
所以，
整理得，
又，，，
所以，
所以.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1)根据，结合数量积的运算律可得，进而可求 的值；
(2) 根据向量的夹角公式可得，再结合面积公式分析证明.
26．（2023高一下·嘉兴期末）已知平面向量，且.
（1）求与的夹角的值；
（2）当取得最小值时，求实数的值.
【答案】（1）解：由，，可得，
又，所以，又，所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以的最小值为，此时.
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的运算律结合夹角公式运算求解；
(2) 根据数量积的运算律结合二次函数运算求解.
27．（2023高一下·台州期末）已知，是非零向量，①；②；③.
（1）从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）
（2）在①②的条件下，，求实数.
【答案】（1）解：选①②：若，，则
，所以③成立.
选①③：由，得，而，则，
即，又，所以，②成立.
选②③：由，得，而，则，
整理得，而，所以，①成立.
（2）解：由，得，，
而，，因此，又，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的定义以及运算律分析证明；
(2) 根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.
28．（2023高一下·绍兴月考）记、、为平面单位向量，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）解：由已知，且，
所以，，则，
所以，，
因为，所以，.
（2）解：由已知可得，且，
所以，.
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【分析】（1）首先利用平面向量数量积的运算求出，再根据，可求出；
（2） 根据可求出答案.
29．（2023高一下·金华期末）已知是夹角为的单位向量，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若，且，求的最小值.
【答案】（1）因为是夹角为的单位向量，所以，
所以
（2）因为，
所以，
，
，又，
，
，
当时，取最小值，.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)由向量垂直的性质列方程，结合数量积的运算性质化简方程，可求出实数的值；
(2)由数量积的运算和模的性质求出，再求出 ，再利用二次函数的性质可求出 的最小值.
30．（2023高一下·达州期末）设平面向量、的夹角为，．已知，，．
（1）求的解析式；
（2）若﹐证明：不等式在上恒成立．
【答案】（1）解：因为，，，
所以，，，
所以，
则
，
所以，
因为，当时，当时，
所以
（2）解：当时，
又，
所以，
令，
因为，所以，所以，
则，
所以，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即
令，
因为，所以，所以，
则，则，
令，，
显然在上单调递增，所以，即，
显然，所以，
即不等式在上恒成立.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数最值的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量数量积的坐标表示求，再根据 和同角三角函数的基本关系得到 的解析式；
(2) 先求出 的解析式，令，求出的最小值和 的最大值，即可得证.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 同步练习
一、选择题
1．（2023高二下·河北期末）已知，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．－1 B． C．0 D．1
2．（2023高一下·黄浦期末）已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（2023高一下·嘉兴期末）已知向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·绍兴期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·台州期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
6．（2023高一下·绍兴月考）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·成都期末）已知，是单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·广州月考）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．-1
9．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高一下·广州期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2023高一下·嘉兴期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
12．已知单位向量，满足，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．向量，的夹角为 D．在上的投影向量为
13．（2023高一下·上饶期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
14．（2023高一下·海南期末）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，，都有
B．对任意非零向量，，都有
C．若向量，满足，则
D．若非零向量，满足，则
15．（2023高一下·宁波期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，则
D．
16．（2023高一下·台州期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点E是AD的中点时，
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．若，，则的取值范围是
三、填空题
17．如果平面向量，那么向量在上的投影向量为 .
18．已知平面向量，，.若，则x＝ .
19．已知，，与平行，则实数的值为 .
20．（2023高二下·安康月考）已知向量，满足，，则 .
21．已知平面向量，，，，，则的值是 .
22．已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为 .
四、解答题
23．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，
（1）试用表示向量与；
（2）求的值.
24．（2023高一下·上饶期末）已知，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
25．（2023高一下·黄浦期末）如图，已知为平行四边形．
（1）若，，，求及的值；
（2）记平行四边形的面积为，设，，求证：
26．（2023高一下·嘉兴期末）已知平面向量，且.
（1）求与的夹角的值；
（2）当取得最小值时，求实数的值.
27．（2023高一下·台州期末）已知，是非零向量，①；②；③.
（1）从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）
（2）在①②的条件下，，求实数.
28．（2023高一下·绍兴月考）记、、为平面单位向量，且.
（1）求；
（2）若，求.
29．（2023高一下·金华期末）已知是夹角为的单位向量，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若，且，求的最小值.
30．（2023高一下·达州期末）设平面向量、的夹角为，．已知，，．
（1）求的解析式；
（2）若﹐证明：不等式在上恒成立．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得，又 ， ，，.
故答案为：A.
【分析】对 两边平方结合求 与夹角 .
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
则在方向上的数量投影为，在方向上的数量投影，
若，则成立，充分性成立；
若，不能推出成立，
例如，时，
满足，而不成立，所以必要性不成立，
故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件，
故答案为：A.
【分析】设与的夹角为，结合向量的数量投影的几何意义判断充分性，利用特例法判断必要性，从而可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量平行的坐标表示运算求解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据平面向量平行的坐标表示运算求解.
6．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：A.∵，1
∴，，故A错误；
B.∵，∴，故B错误；
C.∵，
∴与不平行，故C错误；
D.∵，∴，故D正确．
故选：D．
【分析】 根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB选项；利用共线向量的坐标表示判断C选项；利用垂直关系的坐标表示判断D选项．
7．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】根据题意，设与的夹角为，
将 两边平方得到
已知，是单位向量 ，故解得= .
故选择：C.
【分析】由数量积公式求解两个向量的夹角. 通过平方变形得到数量积，已知模长（单位向量）可求出夹角.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 为的重心 ，则
又因为在中，，
所以，
则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据重心的性质可知，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
9．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：设，则，因为，
所以
又因为，所以，即，
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先利用向量的运算以及数量积的定义求出，再结合余弦函数的值域即可求解范围.
10．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为，则点P为的重心，
取BC的中点D，
则，整理得，
所以，可得.
故答案为：D.
【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解.
11．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】由题意可得：，
，
，
对A：；
对B：
因为，则，可得，
即；
对C：
因为，则，可得，
即；
对D：，
因为，则，可得，
即；
综上所述：最小的.
故答案为：D.
【分析】以为基底向量表示，根据题意结合数量积的运算律分析判断.
12．【答案】A,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据单位向量，满足，将其两边平方得，所以，故A正确；
因为，所以不垂直，故B错误；
根据向量夹角公式，，所以向量，的夹角为，故C错误；
根据投影向量的定义得： 在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先将两边平方化简再结合数量积得运算律，判断A；根据是否成立，判断B；根据数量积夹角计算公式判断C；根据投影向量的定义，判断D.
13．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则，
所以的取值范围是 ，故A正确；
对于B：由题意可得：，其中，
且，可得 ，则在方向上的投影数量为，
当时，则；当时，则；
综上所述：在方向上的投影数量的取值范围是，故B错误；
对于C：因为，
则，当且仅当，，反向时，等号成立，
所以的最大值是 ，故C正确；
对于D：因为，则，
当且仅当同向共线，且时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A：根据向量模长的坐标运算结合三角函数的性质分析判断；对于B：根据向量的投影数量公式结合三角函数分析判断；对于C、D：根据向量模长的三角不等式以及基本不等式分析判断
14．【答案】A,C
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对A：设，因为，所以 ，故A正确；
对B：当向量，同向时，，故B错误；
对C：若，则，所以，故C正确；
对D：若非零向量，满足，则，
所以，，
因为，所以，即 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据数量积定义和三角函数有界性判断；对B：由向量三角不等式等号成立条件判断；对C：根据向量垂直的充要条件推导判断；对D：根据已知分别计算 ，即判断.
15．【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A、 当时，有，，但不一定与平行， A错误；
B、 ，B正确；
C、 ，，有 ，C正确；
D、 是与向量共线的向量 ，是与向量共线的向量，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据向量的基本概念，逐一判断各选项.
16．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】对A：当点E是AD的中点时，，故A正确；
对D：因为，则，可得，
所以，故D正确；
可得，
对B：因为
，
且，则，
所以与不垂直，故B错误；
对C：因为，
可得
，
且，当时，的最小值为，故C正确；
故答案为：ACD.
【分析】对AD：根据题意利用向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；对BC：根据数量积的定义以及运算律运算求解.
17．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ， ，，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先求出，，再利用投影向量公式向量在上的投影向量为代入计算.
18．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：根据向量的坐标运算得：，因为，则，解得.
故答案为：-2.
【分析】根据向量坐标运算以及向量共线的充要条件列出方程，求解即可.
19．【答案】
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
20．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知条件可得
故答案为：
【分析】利用平面向量的模和数量积的定义即可求解.
21．【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】设，求出向量，再根据向量距离求出.
22．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
23．【答案】（1）解：如图，因为点是边的中点，所以，
则，
同理，.
（2）解：由（1）可知，，，
又因为为矩形，所以，
则.
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
24．【答案】（1）解：由已知得，，
∵，∴，
∴.
（2）解：由已知得，，，
∵，∴，
∴.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合向量的坐标运算结合向量的平行的坐标运算求解；
(2) 根据题意结合向量的坐标运算结合向量的垂直的坐标运算求解.
25．【答案】（1）解：在平行四边形中，
所以
，
即，解得，
所以
（2）证明：因为，将两边平方可得，
又，
所以，
整理得，
又，，，
所以，
所以.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1)根据，结合数量积的运算律可得，进而可求 的值；
(2) 根据向量的夹角公式可得，再结合面积公式分析证明.
26．【答案】（1）解：由，，可得，
又，所以，又，所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以的最小值为，此时.
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的运算律结合夹角公式运算求解；
(2) 根据数量积的运算律结合二次函数运算求解.
27．【答案】（1）解：选①②：若，，则
，所以③成立.
选①③：由，得，而，则，
即，又，所以，②成立.
选②③：由，得，而，则，
整理得，而，所以，①成立.
（2）解：由，得，，
而，，因此，又，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的定义以及运算律分析证明；
(2) 根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.
28．【答案】（1）解：由已知，且，
所以，，则，
所以，，
因为，所以，.
（2）解：由已知可得，且，
所以，.
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；平面向量数量积的性质
【解析】【分析】（1）首先利用平面向量数量积的运算求出，再根据，可求出；
（2） 根据可求出答案.
29．【答案】（1）因为是夹角为的单位向量，所以，
所以
（2）因为，
所以，
，
，又，
，
，
当时，取最小值，.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)由向量垂直的性质列方程，结合数量积的运算性质化简方程，可求出实数的值；
(2)由数量积的运算和模的性质求出，再求出 ，再利用二次函数的性质可求出 的最小值.
30．【答案】（1）解：因为，，，
所以，，，
所以，
则
，
所以，
因为，当时，当时，
所以
（2）解：当时，
又，
所以，
令，
因为，所以，所以，
则，
所以，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即
令，
因为，所以，所以，
则，则，
令，，
显然在上单调递增，所以，即，
显然，所以，
即不等式在上恒成立.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数最值的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量数量积的坐标表示求，再根据 和同角三角函数的基本关系得到 的解析式；
(2) 先求出 的解析式，令，求出的最小值和 的最大值，即可得证.
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