2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.4 平面向量的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·房山期末）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．19
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在中，已知，，
由余弦定理得
则.
故选：A.
【分析】利用余弦定理即可求出c的值，可得答案.
2．（2023高一下·浙江期中）在中，已知，且，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理的应用
【解析】【解答】由余弦定理知，又，，，
由得，，又， 是等边三角形。
故答案为：C
【分析】由 结合余弦定理得，利用三角恒的变换化简 得，进而判断三角形的形状。
3．（2023高一下·清远期末）在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图：
易知在中由正弦定理知，设
在和由余弦定理得，，解得，，，，
.
故答案为：D
【分析】在中利用正弦定理得，在利用余弦定理计算出的长，最后利用面积公式求解。
4．（2023高一下·房山期末）在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 由正弦定理可得
由， ，得，即，即
故
即
故选： C.
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及正、余二倍角公式化简，再结合A的范围计算可得 的取值范围 .
5．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，
由正弦定理，可得（m），
在中，，
所以，
在中，由余弦定理，
所以A、B两点的距离m.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解.
6．（2023高一下·绍兴期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴可得，
即，
∵角A，B，C均为锐角，
∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B ，
∴，
∵角A，B，C均为锐角，
∴
∴，
∵恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴令，则恒成立，，
∴或，
∴，
故选：C.
【分析】首先根据正弦定理以及两角和正弦公式证明A=2B，C=π-3B，可将化简，结合该三角形为锐角三角形，可以求出B的取值范围，再根据恒成立，得到关于的不等式，结合二次函数的性质，求解即可得出答案.
7．（2023高一下·宁波期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 在中由余弦定理得，，
，
设 ，
在中由余弦定理得，解得，
，
的费马点为三角形的正等角中心，
，
，
.
故答案为：C
【分析】在中利用余弦定理求出和，在中利用余弦定理求出，判断点位置，利用等面积法求出，进而求解.
8．（2023高一下·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，，E为AD上一点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则
设，
因为 ，
所以，
所以4a-9=0，
解得，
因为 ，
所以，
则，
故选：D
【分析】建立恰当的平面直角坐标系，将向量坐标化，并根据向量的垂直关系解得a，再根据向量的线性关系，列出关于λ，μ的方程组，解之即可.
9．（2023高三上·阳江开学考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.
因为是锐角三角形，则，解得，
令，
所以
可知在上单调递增，且，
所以的取值范围为，即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角A表示，并求出角A范围，最后结合对勾函数运算求解.
10．（2023高一下·台州期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设，则，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
整理得：，即，
在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
可得，解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理定理建立边角关系，结合倍角公式列方程求解即可.
二、多项选择题
11．（2023高一下·海南期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，边上的高为，则为等腰三角形
B．若，，，则为直角三角形
C．若，，则为直角三角形
D．若，则为锐角三角形
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：作AB边上的高为CD，因为，
在中，由正弦定理可得，得，
因为，所以，
所以，故A正确；
对B：因为，，，所以由正弦定理可得，
解得，因为，所以或，
当时，三角形为钝角三角形，故B错误；
对C：因为，，所以
又，所以，即，
所以，
因为，所以，即，，
所以或，当时，，不合题意，
所以，所以，故C正确；
对D：因为，
所以，
所以，
因为角A，B，C最多有一个钝角，所以最多有一个为负数，
因为，所以，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对A：在直角三角形中利用正弦定理求解，即可分析判断；对B：利用正弦定理求解可判断；对C：根据和差公式化解求得角C即可；对D：利用正切的和差公式化简可得，结合三角形性质分析判断.
12．（2023高一下·嘉兴期末）在中，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若的面积，则该三角形为直角三角形
D．若为锐角三角形，则
【答案】B,D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：由正弦定理，可得，
因为，则，可得，
所以或 ，故A错误；
对B：由余弦定理：，
所以，故B正确；
对C：因为，解得，
由余弦定理：，
所以，即，
可得，所以该三角形为顶角为的等腰三角形，故C错误；
对D：若为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理，可得，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据正、余弦定理结合面积公式逐项运算求解.
13．（2023高一下·嘉兴期末）在中，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则边上的中线长
B．若，则
C．若，则面积的最大值为2
D．若，则面积的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：因为，则，
即，可得，
因为为边上的中点，则，
可得，即，故A正确；
对B：因为，可得，
即 ，可得，故B正确；
对C：因为，且，则角为锐角，可得，
由余弦定理可得，整理得，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以面积的最大值为，故C错误；
对D：因为，则，且，
可得，
则面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对AB：根据向量的线性运算结合数量积的运算律运算求解；对C：根据余弦定理结合基本不等式运算求解；根据余弦定理结合二次函数分析运算.
14．（2023高一下·广州期末）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，记.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】对A：因为，，所以，
在中，，则，
在中，，则，
因为，所以，
所以，故A正确；
对C：因为，
所以，
则，故C正确；
对D： 因为，
，
，
又因为，
所以
则，故D正确.
对B：在中，令，
可得，，，
此时，故B错误；
故答案为：ACD.
【分析】对A：利用正弦定理判断即可；对C：利用三角形面积公式即可判断；对D：利用向量数量积的定义与线性运算即可判断；对B：利用特例法排除即可.
15．（2023高一下·衢州期末） 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则函数的最小值为
B．的最大值为
C．在方向上的投影向量为
D．
【答案】A,B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的综合题；空间向量的投影向量
【解析】【解答】如图，以GC为x轴，AE为y轴，建立平面直角坐标系，
设=a，在中，由余弦定理可得解得
A.，所以当时，函数的最小值为，所以A选项正确.
B.取AB的中点Q，则得由正八边形的对称性，可得，当点P和点E或点F重合时最大，最大值为，所以B选项正确.
C.在方向上的投影向量为，所以C选项错误.
D.所以D选项错误.
故答案为：AB
【分析】先建立平面直角坐标系，利用余弦定理求出，写出点的坐标，A选项利用向量的坐标运算求出的表达式，利用二次函数求最值即可。B选项利用向量加减法的几何意义把转化成求的最值即可，
C选项利用投影向量的定义即可判断，D选项利用向量的坐标运算即可判断.
三、填空题
16．（2023高一下·嘉兴期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 .
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意可得：，的面积，
所以三角形内切圆的半径为.
故答案为：.
【分析】根据题意求三角形的面积，进而结合 三角形内切圆的半径公式运算求解.
17．（2023高二下·安康月考）在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：设AB=BC=t(t>2)，则CD=t-2，
由余弦定理可得
则当且仅当即时等号成立.
故答案为：
【分析】由余弦定理求出结合基本不等式即可求解.
18．（2023高一下·黄浦期末）在中，若，，且，则 ．
【答案】或
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，故，
所以，由余弦定理可得：，
所以，可得，则，
又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，
所以，解得：或，
故或.
故答案为：或.
【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.
19．（2023高一下·台州期中）在中，，，，对任意，有恒成立，点是直线上，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；余弦定理
【解析】【解答】由 得 ， 由减法与数乘的几何意义，AC为点A到BC的垂线段，得∠ACB=90°，
由BA=2，B= 60°，得BC=1，，CD=3，故BD=4，
在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，
设D关于直线AB对称点为Q ，连接BQ，连接CQ交AB于P，则
可得此时PC+PD最小，PC+ PD=CQ，
即 的最小值为.
故答案为：.
【分析】 由得AC为点A到BC的垂线段，再由角平分线的性质结合余弦定理可求出的最小值.
20．（2023高二下·镇巴县期末）在中，内角、、的对边分别是、、，且，则 ；若的角平分线与边交于点，且，则 .
【答案】；
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
【分析】第一问利用正弦定理和正弦两角和公式化简求解；第二问利用和正弦的二倍角公式化简求解。
21．（2023高一下·浦东期末）在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；余弦定理
【解析】【解答】由题意的定点在和的中垂线交点上，画出如下图：
中点坐标为，直线斜率为，中垂线方程为，即，
同理可得中垂线方程为，
联立，解得定点，
又，，.
故答案为：
【分析】利用坐标法求点坐标，进而求旋转角 .
四、解答题
22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）解：因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
23．（2023高一下·广州期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，b＝4，求的周长.
【答案】（1）解：因为，则，可得，
且，所以.
（2）解：由余弦定理，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的周长.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量平行可得，进而结合同角三角关系运算求解；
(2) 根据题意利用余弦定理可得，进而可得结果.
24．（2023·浙江模拟） 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）点D在边上，且，，求面积的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：根据题意可得，
所以平方可得．
又，所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题考查知识点较多，综合考察正余弦定理、向量关系以及基本不等式.
（1）根据正弦定理角边对应公式对题中给出的等式化简可得，再结合余弦定理即可求解；
（2）因为点D在边上 ， 且 ，可知点D将BC边四等分，可以建立向量关系等式，再结合基本不等式即可求解.
25．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
（1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
（2）若A-C=15°，a=csinA，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，
∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=cosA+sinA，
∴cosA=0，
∴A=90°，C=30°，B=60°，
∵b=2，
∴
（2）解：a=csinA，
则sinA=sinCsinA，
sinA>0，
∴，
∵A-C=15°，
∴C为锐角，
∴C=45°，A=60°，B=75°，
∴
∴
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：（1）
【分析】(1)利用正弦定理和和差角公式进行化简，即可求出cosA=0，进而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出边c.
(2)利用正弦定理先求出，根据 A-C=15° 可判读出C为锐角，结合已知即可求出三个角，再利用三角形面积公式即可求解.
26．在中，，点D在边上，，且.
（1）若的面积为，求；
（2）设，若，求.
【答案】（1）解：因为，即，
又因为，，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.
（2）解：在中，，因为，则，
又，由正弦定理，有，
所以.
在中，，，
由正弦定理得，，即，
化简得
因为，所以
，，
所以或，
解得或.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
27．在中，点P为所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且，用，表示；
（2）若点P是的重心.
①求证：；
②若，求.
【答案】（1）解：如图：
过点P作交AB于点D，交AC于点E，则四边形为平行四边形，
所以，由，所以，即，
同理，即，所以；
（2）解：①如图：
延长AP交BC于点F，因为点P是的重心，所以点F为BC的中点，且，
所以，即，又，所以；
②点P是的重心时，由①知及，
所以，所以，
由正弦定理知，不妨设，，
由余弦定理得.
【知识点】向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 过点P作交AB于点D，交AC于点E，得四边形ABCD为平行四边形，再 利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算化简表示即可；
（2）①延长AP交BC于点F，因为点P是的重心 ，利用重心概念及向量的线性运算即可证明；②点P是的重心时，由①知 ，向量分解得到，再利用正弦定理及余弦定理求解即可.
28．（2023高一下·达州期末）某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖），，，．
（1）求BC，CD的长；
（2）该公司重新设计临湖面，如图2，是以BD为直径的半圆，P是上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足
【答案】（1）解：因为，，，则，
所以在中，，，，
在中，，由正弦定理可得：，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
故
（2）解：是以BD为直径的半圆，P是上一点，所以，
设，，在中，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为观光道每米造价300元，所以该观光道所用资金为，
而，所以该公司预计用88000元建观光道，预算资金充足.
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理求；
(2)设，，在中有，，利用三角函数的性质求的最大值，即可求出该观光道所用资金的最大值，判断资金是否充足.
29．（2023高一下·房山期末）某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，为运动小道（不考虑宽度），，，.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的长度；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长度；
（3）在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？
【答案】（1）解：在中，由余弦定理得：，.
（2）解：若选条件①，由（1）知：，
在中，由余弦定理得：，
解得：（舍）或，；
若选条件②，，，，
，.
（3）解：在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
，（当且仅当时取等号），
；
即当时，儿童活动场所（即三角形）的面积最大.
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)在△BCD中，利用余弦定理，即可得求出 的长度；
(2)若选条件①，在△BDE中，利用余弦定理求解出 ；若选②，利用勾股定理直接求解出 ；
(3)利用余弦定理，结合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值 .
30．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
（1）求曲线段的解析式；
（2）若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
（3）若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
【答案】（1）解：由图形易知，，
又，则，又，所以，
又当时，有，即
因为，所以，则，故，
所以曲线段的解析式为，.
（2）解：因为B点离的距离为1.5千米，则设，
所以，则，
因为，所以，所以，故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米.
（3）解：依题意，，，
在中，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
在中，，
故
，其中，为锐角，
因为，所以，
显然当时，休息区域的面积取得最大值，
此时.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 根据五点法求正弦型函数解析式；
(2) 分析可得，以为整体，结合正弦函数解方程；
(3) 利用正弦定理边化角可得，结合三角恒等变换整理可得，进而可求最值.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.4 平面向量的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·房山期末）在中，已知，，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．19
2．（2023高一下·浙江期中）在中，已知，且，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
3．（2023高一下·清远期末）在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
4．（2023高一下·房山期末）在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·绍兴期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·宁波期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，，E为AD上一点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2023高三上·阳江开学考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一下·台州期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2023高一下·海南期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，边上的高为，则为等腰三角形
B．若，，，则为直角三角形
C．若，，则为直角三角形
D．若，则为锐角三角形
12．（2023高一下·嘉兴期末）在中，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若的面积，则该三角形为直角三角形
D．若为锐角三角形，则
13．（2023高一下·嘉兴期末）在中，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则边上的中线长
B．若，则
C．若，则面积的最大值为2
D．若，则面积的最大值为
14．（2023高一下·广州期末）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，记.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．（2023高一下·衢州期末） 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则函数的最小值为
B．的最大值为
C．在方向上的投影向量为
D．
三、填空题
16．（2023高一下·嘉兴期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 .
17．（2023高二下·安康月考）在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为 .
18．（2023高一下·黄浦期末）在中，若，，且，则 ．
19．（2023高一下·台州期中）在中，，，，对任意，有恒成立，点是直线上，则的最小值是 ．
20．（2023高二下·镇巴县期末）在中，内角、、的对边分别是、、，且，则 ；若的角平分线与边交于点，且，则 .
21．（2023高一下·浦东期末）在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 .
四、解答题
22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
23．（2023高一下·广州期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，b＝4，求的周长.
24．（2023·浙江模拟） 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）点D在边上，且，，求面积的最大值．
25．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
（1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
（2）若A-C=15°，a=csinA，求△ABC的面积．
26．在中，，点D在边上，，且.
（1）若的面积为，求；
（2）设，若，求.
27．在中，点P为所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且，用，表示；
（2）若点P是的重心.
①求证：；
②若，求.
28．（2023高一下·达州期末）某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖），，，．
（1）求BC，CD的长；
（2）该公司重新设计临湖面，如图2，是以BD为直径的半圆，P是上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足
29．（2023高一下·房山期末）某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，为运动小道（不考虑宽度），，，.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的长度；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长度；
（3）在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？
30．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
（1）求曲线段的解析式；
（2）若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
（3）若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在中，已知，，
由余弦定理得
则.
故选：A.
【分析】利用余弦定理即可求出c的值，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；余弦定理的应用
【解析】【解答】由余弦定理知，又，，，
由得，，又， 是等边三角形。
故答案为：C
【分析】由 结合余弦定理得，利用三角恒的变换化简 得，进而判断三角形的形状。
3．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图：
易知在中由正弦定理知，设
在和由余弦定理得，，解得，，，，
.
故答案为：D
【分析】在中利用正弦定理得，在利用余弦定理计算出的长，最后利用面积公式求解。
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 由正弦定理可得
由， ，得，即，即
故
即
故选： C.
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及正、余二倍角公式化简，再结合A的范围计算可得 的取值范围 .
5．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，
由正弦定理，可得（m），
在中，，
所以，
在中，由余弦定理，
所以A、B两点的距离m.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴可得，
即，
∵角A，B，C均为锐角，
∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B ，
∴，
∵角A，B，C均为锐角，
∴
∴，
∵恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴令，则恒成立，，
∴或，
∴，
故选：C.
【分析】首先根据正弦定理以及两角和正弦公式证明A=2B，C=π-3B，可将化简，结合该三角形为锐角三角形，可以求出B的取值范围，再根据恒成立，得到关于的不等式，结合二次函数的性质，求解即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 在中由余弦定理得，，
，
设 ，
在中由余弦定理得，解得，
，
的费马点为三角形的正等角中心，
，
，
.
故答案为：C
【分析】在中利用余弦定理求出和，在中利用余弦定理求出，判断点位置，利用等面积法求出，进而求解.
8．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则
设，
因为 ，
所以，
所以4a-9=0，
解得，
因为 ，
所以，
则，
故选：D
【分析】建立恰当的平面直角坐标系，将向量坐标化，并根据向量的垂直关系解得a，再根据向量的线性关系，列出关于λ，μ的方程组，解之即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.
因为是锐角三角形，则，解得，
令，
所以
可知在上单调递增，且，
所以的取值范围为，即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角A表示，并求出角A范围，最后结合对勾函数运算求解.
10．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设，则，
在中，由正弦定理可得，则，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
整理得：，即，
在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
可得，解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理定理建立边角关系，结合倍角公式列方程求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：作AB边上的高为CD，因为，
在中，由正弦定理可得，得，
因为，所以，
所以，故A正确；
对B：因为，，，所以由正弦定理可得，
解得，因为，所以或，
当时，三角形为钝角三角形，故B错误；
对C：因为，，所以
又，所以，即，
所以，
因为，所以，即，，
所以或，当时，，不合题意，
所以，所以，故C正确；
对D：因为，
所以，
所以，
因为角A，B，C最多有一个钝角，所以最多有一个为负数，
因为，所以，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对A：在直角三角形中利用正弦定理求解，即可分析判断；对B：利用正弦定理求解可判断；对C：根据和差公式化解求得角C即可；对D：利用正切的和差公式化简可得，结合三角形性质分析判断.
12．【答案】B,D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：由正弦定理，可得，
因为，则，可得，
所以或 ，故A错误；
对B：由余弦定理：，
所以，故B正确；
对C：因为，解得，
由余弦定理：，
所以，即，
可得，所以该三角形为顶角为的等腰三角形，故C错误；
对D：若为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理，可得，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据正、余弦定理结合面积公式逐项运算求解.
13．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】对A：因为，则，
即，可得，
因为为边上的中点，则，
可得，即，故A正确；
对B：因为，可得，
即 ，可得，故B正确；
对C：因为，且，则角为锐角，可得，
由余弦定理可得，整理得，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以面积的最大值为，故C错误；
对D：因为，则，且，
可得，
则面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对AB：根据向量的线性运算结合数量积的运算律运算求解；对C：根据余弦定理结合基本不等式运算求解；根据余弦定理结合二次函数分析运算.
14．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】对A：因为，，所以，
在中，，则，
在中，，则，
因为，所以，
所以，故A正确；
对C：因为，
所以，
则，故C正确；
对D： 因为，
，
，
又因为，
所以
则，故D正确.
对B：在中，令，
可得，，，
此时，故B错误；
故答案为：ACD.
【分析】对A：利用正弦定理判断即可；对C：利用三角形面积公式即可判断；对D：利用向量数量积的定义与线性运算即可判断；对B：利用特例法排除即可.
15．【答案】A,B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的综合题；空间向量的投影向量
【解析】【解答】如图，以GC为x轴，AE为y轴，建立平面直角坐标系，
设=a，在中，由余弦定理可得解得
A.，所以当时，函数的最小值为，所以A选项正确.
B.取AB的中点Q，则得由正八边形的对称性，可得，当点P和点E或点F重合时最大，最大值为，所以B选项正确.
C.在方向上的投影向量为，所以C选项错误.
D.所以D选项错误.
故答案为：AB
【分析】先建立平面直角坐标系，利用余弦定理求出，写出点的坐标，A选项利用向量的坐标运算求出的表达式，利用二次函数求最值即可。B选项利用向量加减法的几何意义把转化成求的最值即可，
C选项利用投影向量的定义即可判断，D选项利用向量的坐标运算即可判断.
16．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意可得：，的面积，
所以三角形内切圆的半径为.
故答案为：.
【分析】根据题意求三角形的面积，进而结合 三角形内切圆的半径公式运算求解.
17．【答案】
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：设AB=BC=t(t>2)，则CD=t-2，
由余弦定理可得
则当且仅当即时等号成立.
故答案为：
【分析】由余弦定理求出结合基本不等式即可求解.
18．【答案】或
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，故，
所以，由余弦定理可得：，
所以，可得，则，
又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，
所以，解得：或，
故或.
故答案为：或.
【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.
19．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；余弦定理
【解析】【解答】由 得 ， 由减法与数乘的几何意义，AC为点A到BC的垂线段，得∠ACB=90°，
由BA=2，B= 60°，得BC=1，，CD=3，故BD=4，
在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，
设D关于直线AB对称点为Q ，连接BQ，连接CQ交AB于P，则
可得此时PC+PD最小，PC+ PD=CQ，
即 的最小值为.
故答案为：.
【分析】 由得AC为点A到BC的垂线段，再由角平分线的性质结合余弦定理可求出的最小值.
20．【答案】；
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
【分析】第一问利用正弦定理和正弦两角和公式化简求解；第二问利用和正弦的二倍角公式化简求解。
21．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；余弦定理
【解析】【解答】由题意的定点在和的中垂线交点上，画出如下图：
中点坐标为，直线斜率为，中垂线方程为，即，
同理可得中垂线方程为，
联立，解得定点，
又，，.
故答案为：
【分析】利用坐标法求点坐标，进而求旋转角 .
22．【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）解：因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
23．【答案】（1）解：因为，则，可得，
且，所以.
（2）解：由余弦定理，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的周长.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量平行可得，进而结合同角三角关系运算求解；
(2) 根据题意利用余弦定理可得，进而可得结果.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：根据题意可得，
所以平方可得．
又，所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题考查知识点较多，综合考察正余弦定理、向量关系以及基本不等式.
（1）根据正弦定理角边对应公式对题中给出的等式化简可得，再结合余弦定理即可求解；
（2）因为点D在边上 ， 且 ，可知点D将BC边四等分，可以建立向量关系等式，再结合基本不等式即可求解.
25．【答案】（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，
∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=cosA+sinA，
∴cosA=0，
∴A=90°，C=30°，B=60°，
∵b=2，
∴
（2）解：a=csinA，
则sinA=sinCsinA，
sinA>0，
∴，
∵A-C=15°，
∴C为锐角，
∴C=45°，A=60°，B=75°，
∴
∴
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：（1）
【分析】(1)利用正弦定理和和差角公式进行化简，即可求出cosA=0，进而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出边c.
(2)利用正弦定理先求出，根据 A-C=15° 可判读出C为锐角，结合已知即可求出三个角，再利用三角形面积公式即可求解.
26．【答案】（1）解：因为，即，
又因为，，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.
（2）解：在中，，因为，则，
又，由正弦定理，有，
所以.
在中，，，
由正弦定理得，，即，
化简得
因为，所以
，，
所以或，
解得或.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
27．【答案】（1）解：如图：
过点P作交AB于点D，交AC于点E，则四边形为平行四边形，
所以，由，所以，即，
同理，即，所以；
（2）解：①如图：
延长AP交BC于点F，因为点P是的重心，所以点F为BC的中点，且，
所以，即，又，所以；
②点P是的重心时，由①知及，
所以，所以，
由正弦定理知，不妨设，，
由余弦定理得.
【知识点】向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 过点P作交AB于点D，交AC于点E，得四边形ABCD为平行四边形，再 利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算化简表示即可；
（2）①延长AP交BC于点F，因为点P是的重心 ，利用重心概念及向量的线性运算即可证明；②点P是的重心时，由①知 ，向量分解得到，再利用正弦定理及余弦定理求解即可.
28．【答案】（1）解：因为，，，则，
所以在中，，，，
在中，，由正弦定理可得：，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
故
（2）解：是以BD为直径的半圆，P是上一点，所以，
设，，在中，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为观光道每米造价300元，所以该观光道所用资金为，
而，所以该公司预计用88000元建观光道，预算资金充足.
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理求；
(2)设，，在中有，，利用三角函数的性质求的最大值，即可求出该观光道所用资金的最大值，判断资金是否充足.
29．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得：，.
（2）解：若选条件①，由（1）知：，
在中，由余弦定理得：，
解得：（舍）或，；
若选条件②，，，，
，.
（3）解：在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
，（当且仅当时取等号），
；
即当时，儿童活动场所（即三角形）的面积最大.
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)在△BCD中，利用余弦定理，即可得求出 的长度；
(2)若选条件①，在△BDE中，利用余弦定理求解出 ；若选②，利用勾股定理直接求解出 ；
(3)利用余弦定理，结合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值 .
30．【答案】（1）解：由图形易知，，
又，则，又，所以，
又当时，有，即
因为，所以，则，故，
所以曲线段的解析式为，.
（2）解：因为B点离的距离为1.5千米，则设，
所以，则，
因为，所以，所以，故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米.
（3）解：依题意，，，
在中，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
在中，，
故
，其中，为锐角，
因为，所以，
显然当时，休息区域的面积取得最大值，
此时.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 根据五点法求正弦型函数解析式；
(2) 分析可得，以为整体，结合正弦函数解方程；
(3) 利用正弦定理边化角可得，结合三角恒等变换整理可得，进而可求最值.
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