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矩形的判定
一
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
探究新知，经历过程
探索活动
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
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几何画板.GSP
（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
四边形 ABCD 是矩形
□ ABCD
AC = BD
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流.
想一想
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
∠A =∠B =∠C = 90°
四边形 ABCD 是矩形
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
议一议
用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
议一议
拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
议一议
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，
且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材P16 随堂练习】
巩固练习，深化提高
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材P16 习题1.5 第1题】
2. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形．
【选自教材P16 习题1.5 第2题】
3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，
分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.
试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形．
4. 如图，已知菱形 ABCD ，画一个矩形，使得 A，B，C，
D 四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形
ABCD 面积的 2 倍.
【选自教材P16 习题1.5 第3题】
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
