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正方形的性质
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
生活中的正方形
好
好
学
习
天
天
向
上
像矩形
十
年
树
木
百
年
树
人
像菱形
矩形变正方形
一组邻边相等
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几何画板.GSP
菱形变正方形
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几何画板.GSP
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
议一议
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
正方形的性质
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
想一想
正方形有几条对称轴？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形有 4 条对称轴.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都
相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
（2）延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
议一议
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
【选自教材P21 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC,
△FCD与 △FCB,
△FAD 与 △FAB．
【选自教材P21 随堂练习】
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵正方形 ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
【选自教材P21 随堂练习】
【选自教材P22 习题1.7 第1题】
3. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
【选自教材P22 习题1.7 第2题】
4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形，
求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
【选自教材P22 习题1.7 第3题】
5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四
个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.
证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中,
∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ．
又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°,
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条
直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考
虑道路的宽度）.你有几种方法？
【选自教材P22 习题1.7 第4题】
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
正方形的定义
正方形的性质
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
