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矩形的性质
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
平行四边形有哪些性质？
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
边
角
对角线
对称性
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
几何画板.GSP
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不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
探究新知，经历过程
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
你能用集合表示它们之间的关系吗？
四边形
平行四边形
矩 形
既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
想一想
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
探索活动
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几何画板.GSP
定理
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
定理
你能证明这两个定理吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
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请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
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矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
（1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？
（4）你能借助于矩形加以证明吗？
议一议
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
∴BE = DE = AE = CE,
在Rt△ABC 中，
AC为斜边，BE 为斜边上中线，
∴BE = AC.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于
点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长.
【选自教材P13 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等），
∴BD = 2AO = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，
∴AD = .
【选自教材P13 习题1.4 第1题】
2. 一个矩形的对角线长为 6 ，对角线与一边的夹角是 45°，
求这个矩形的各边长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = .
【选自教材P13 习题1.4 第2题】
3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长
为 15，求这个矩形较短边的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD = 7.5 .
【选自教材P13 习题1.4 第3题】
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形.
【选自教材P134 习题1.4 第4题】
5. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形.
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质：
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等且平分.
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
