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菱形的判定
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北师版九年级上册
菱形的定义和性质？
说一说
复习导入
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
复习导入
菱形
平行四边形
满足？条件
探究新知
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
探究菱形的判定条件
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明吗？
已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,
AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
∴BA = BC
∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形 ABCD是菱形。
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
议一议
如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形.
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
探究菱形的判定条件
平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：四边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中 AB=BC=CD=DA,
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：∵AB=CD，BC=DA,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵AB = BC，
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）
定理
四边相等的四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AB=BC=CD=DA，
∴四边形 ABCD是菱形。
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 4 cm 和 6 cm.
[教材P7 随堂练习]
达标检测
（1）作AC=6cm，取AC的中点O,
（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，
（3）依次连接点A，B，C，D.
2.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第1题]
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形.
3.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC与 BD 相交于点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第2题]
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
∴HE∥AD且 HE= AD，FG∥BC且 FG = BC，
∴HE GF，即四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形 EFGH 是菱形.
∥
=
∥
=
4.如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？证明你的结论.
[教材P7 习题1.2 第3题]
四边形 CDC′E 是菱形.
证明：连接 CC′ ，交 DE 于点 O.
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
∴四边形 CDC′E 是菱形.
课堂小结
菱形的判定定理
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
