【高效备课】北师大版九(上) 第1章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质与判定的综合运用 课件

(共16张PPT)
菱形的性质与判定的综合运用
北师版九年级上册
情景导入
如图所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
一组邻边相等
AC⊥ BD
☆回忆：菱形有哪些判定？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
新课导入
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度；
(2)菱形 ABCD 的面积.
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E，
∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的对角线互相平分）.
(2) 菱形ABCD 的面积
= △ABD 的面积 + △CBD 的面积
= 2×△ABD 的面积
= 2 × × BD × AE
= 2 × × 10 × 12
= 120 （cm2）.
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD 是菱形吗？为什么？
做一做
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形，
从 A点作AM⊥DC 交于点 M,
作AN⊥BC交于点 N,
∵是两张等宽的纸，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
先沿着红色线对折，使AB与AC重合；
再沿着蓝色线对折；
最后沿着绿色线对折。
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
达标检测
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
【选自教材P9 随堂练习 第2题】
2. 已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，
BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF = CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形.
证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.
又∵ DE 为 BC 垂直平分线，
∴ DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA = CE =AE.
又∵AF = CE，∴AF = AE.
∵∠FEA =∠EAC= 60°=∠F，∴ EF = AF = AE，
∴AF=EF=CE=CA，∴四边形 ACEF 是菱形.
【选自教材P9 习题1.3 第1题】
3.已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE = BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
证明: (1)在菱形ABCD中, ∠C=∠A,
AD = DC = BC = AB.
∵BE = BF ,∴AE = CF,
∴△ADE≌△CDF .
(2)由(1)可知, DE = DF.
∴∠DEF =∠DFE.
【选自教材P9 习题1.3 第2题】
4. 证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
证明: 如图，∵四边形 ABCD为菱形.
∴AC⊥BD，AO = CO，BO = DO.
∵S菱形ABCD = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA
= OA·OB + OB ·OC + OC ·OD + OD ·OA
= OB ·AC + OD ·AC
= AC ·BD，
即菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
【选自教材P9 习题1.3 第3题】
5. 如图，在菱形 ABCD ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC = 16，BD = 12，求菱形 ABCD 的高 DH .
解: ∵ AB·DH = AC·BD，
而 AC = 16，BD = 12，AB = 10，
∵ DH = ×16×12÷10 = 9.6.
【选自教材P9 习题1.3 第4题】
6. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，点 E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC，BD 的中点. 求证：四边形 EGFH 是菱形.
证明: ∵点 E, F, G, H 分别是 AB, CD, AC, BD 的中点,
∴FG＝EH ＝ AD , GE ＝ HF ＝ BC．
∵AD ＝ BC, ∴ FG ＝ GE＝ EH ＝ HF．
∴四边形 EGFH 是菱形．
课堂小结
菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的定义
定理
定理
面积