【高效备课】北师大版九(上) 第1章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用 课件

(共17张PPT)
矩形的性质与判定的综合运用
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
5
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________________，可使它成为矩形。
∠ABC = 90°或 AC = BD
探究新知，经历过程
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等）
AO = CO = AC，BO = DO = BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= （∠BAC +∠CAM）
= ×180°
= 90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
【选自教材P18 随堂练习】
巩固练习，深化提高
证明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点，
∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD ,
∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
【选自教材P18 习题1.6 第1题】
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面积.
解: ∵∠ACB ＝ 30°, AC＝BD ＝4，
∴AB＝2，BC＝ ．
∴S矩形ABCD ＝AB·BC ＝ ．
【选自教材P19 习题1.6 第2题】
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E. 已知∠EAD=3∠BAE，
求∠EAO 的度数.
解:由题意,可得∠EAD ＝ × 90°＝ 67.5°．
∵AE⊥BD ，
∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．
∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,
则∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°．
4. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
【选自教材P19 习题1.6 第3题】
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四边形 ABDE 是平行四边形,
∴ BD AE, 则 CD AE．
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四边形 ADCE 为矩形．
∥
=
∥
=
5. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，
将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合. 请在图中画出
折痕的长.
【选自教材P19 习题1.6 第4题】
解: 如图,连接 EC．在矩形 ABCD 中,
AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,
∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝ cm．
∴OE ＝ cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD
上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD
的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
【选自教材P19 习题1.6 第5题】
解: 如图, 连接 PO．在矩形 ABCD 中,
AB＝3, AD ＝4,
∴AC＝ BD ＝5, OA ＝OD ＝ ．
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ,
即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ,
∴PE＋PF＝ ．
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.