【高效备课】北师大版九(上) 第2章 一元二次方程 6 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 课件

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利用一元二次方程解决几何问题
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北师版九年级上册
情境导入
你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
（1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
x
x
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(8-x)2+(6+x)2 =102
x2-2x = 0
x1= 0（舍），x2 = 2.
（2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(12-x)2+(5+x)2 =132
x2-7x = 0
x1= 0（舍），x2 = 7.
几何画板
探究新知
例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
几何画板
（1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？
解： 连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，
∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = AB.
∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile.
在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300-2x)2，
整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0.
解这个方程，得
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
随堂练习
【选自教材P53 随堂练习】
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2，
解得 t1 = 0（舍去），t2 = .
∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）.
达标检测
【选自教材P53 习题2.9】
有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
解: 设较多的钱为 x．
由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)．
所以，赛义德得到的钱数为12.
如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？
解: 设经过 t s， △PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
(8－t)(6－t)＝ ×6×8× ，
解得 t1＝2，t2＝12 (舍去)．
所以，经过 2 s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
【选自教材P53 习题2.9】
如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深.
【选自教材P53 习题2.9】
解:设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m．
S ＝ ·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x ＝ 0.78，
解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．
所以，渠深 0.6 m．
解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm．
由题意有 t2＋(21－t)2＝152，
解得 t1＝9，t2＝12．
所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm．
如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？.
【选自教材P54 习题2.9】
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
完成练习册本课时的习题。
课后作业