【高效备课】北师大版九(上) 第4章 图形的相似 7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质 课件

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相似三角形中特殊线段的性质
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北师版九年级上册
情境导入
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C′D′分别是它们的立柱。
(1)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
探究新知
想一想
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
A
B
C
A′
B′
C′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°
△AHB∽∠A′H′B′
同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比
证明
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
∴△ABT∽△A′B′T′
同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点
∵∠B=∠B′
∴△ABD∽△A′B′D′
同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
议一议
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上.
（1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则
等于多少？
（2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则 等于多少？
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABD∽△A′B′D′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ，
∴△ABE∽△A′B′E′
∵BE= BC， B′E′= B′C′
相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ （相似三角形对应高的比等于相似比），
即
当SR= BC时，得 .解得DE= .
当SR= BC时，得 .解得DE= .
随堂练习
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，
，BD=4cm，求B′D′的长.
2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长？
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
课堂小结
相似三角形的性质(1)
相似三角形对应高的比、对应的角平分线的比、对应边上的中线的比等于相似比.
A
B
C
A′
B′
C′