1.3 勾股定理的应用 课时同步练习（含解析）北师大版八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用 课时同步练习 北师大版八年级数学上册
一、选择题
1．近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（　　）
A．35m B．42m C．44m D．52m
2．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　)
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
3．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（　　）m长的梯子.
A．20 B．25 C．15 D．5
4．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（　　）
A． B．3 C．2 D．
5．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得 ，又量得 ， ，则A、B两点之间的距离为（　　）
A．10m B． C．12m D．13m
6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（　　）
A．1 B．4 C．6 D．9
7．如图，校园内的一块草坪是长方形，已知，．从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段走．这样做会踩坏草坪，而实际上只少走了（　　）
A． B． C． D．
8．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 为（　　）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
10．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（　　）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
二、填空题
11．一艘轮船以16 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距　 　．
12．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是　 　.
13．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为　 　.
14．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为　 　尺．（一丈=10尺）
15．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距　 　海里．
16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 　 　．
三、解答题
17．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？
18．如图，强大的台风使得一根旗杆BC在离地面3m的A点处折断倒下，旗杆顶部C点落在离旗杆底部B点4m处，旗杆BC折断之前有多高
19．如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B有3尺，试问折断处离地面有多高？
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
21．如图，一艘小船停留在点A处，在离水面高度为8米的台阶上有一根绳子连接小船，用绳子拉小船移动到点D处，已知开始时绳子的长米，停止后绳子的长米，求小船移动的距离的长．
22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
24．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，于点A，于点B，若，，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，
∴小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时的最短距离即为AB的长，
∵OA⊥OB，OA=40m，OB=20m，
∴，
∵，
∴小明所走的路程可能为52m，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再比较大小即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故答案为：A.
【分析】由题意求出离门的距离CE的长，灯刚好发光；在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得CE的值即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC＝20m，BC＝15m，
∴在Rt△ABC中，AB= m，
故答案为：B.
【分析】可依据题意作出简单的图形，结合图形利用勾股定理进行求解，即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：点 到原点的距离为 ，
故答案为：D.
【分析】由题意过点P分别作x轴、y轴的垂线，则点P的横、纵坐标的绝对值分别是直角三角形的直角边，点P到点O的距离是直角三角形的斜边，然后用勾股定理可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。故变形可得。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：大正方形的边长为5，较短直角边长为3，
则较长直角边长4，
∴小正方形边长为1，
∴小正方形面积为1，
故答案为：A．
【分析】先求出较长直角边长4，再求出小正方形边长为1，最后求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
捷径，
少走了．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理先求出AC=10m，再求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．
【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示： m， m， m， m，
在 中，
m，
在 中，
m，
∴ m，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的长，再利用线段的和差列出算式求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴ 海里，
故答案为：D.
【分析】利用方位角的定义可知∠AOB=90°，利用两船的运动速度，可求出OA，OB的长，再利用勾股定理求出AB的长.
11．【答案】20km
【解析】【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，
BC=12×1=12km．
则AB==20km，
故答案为：20km．
【分析】先判断△ABC为直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵如图是两个边长为1的小正方形，
∴其对角线的长度 ，
∴大正方形的边长为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可知大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以用勾股定理可求得小正方形的对角线（即为大正方形的边长）.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意知BN为最大线段，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝ .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出BN的值即可.
14．【答案】3.2
【解析】【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10 x）尺，
根据勾股定理得：x2＋62＝（10 x）2，
解得：x＝3.2．
答：折断处离地面的高度为3.2尺．
故答案为：3.2
【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10 x）2，再求出x的值即可。
15．【答案】30
【解析】【解答】解：如图，由题意可知
，
在中
故它们相距30海里．
故答案为：30
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
16．【答案】3cm
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
17．【答案】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+52=（x+1）2，
解得x=12m，
所以旗杆的高度为12米
【解析】【分析】 设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m， 由于旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 从而根据勾股定理建立方程，求解即可.
18．【答案】解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=52，解得AC=5
∴BC=AB+AC=3+5=8
所以旗杆折断之前高度为8m。
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，进而可求出旗杆折断之前高度.
19．【答案】解：设折断处离地面的高度BC是x尺，根据题意可得：
x2+32=（10﹣x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度BC是4.55尺．
【解析】【分析】设折断处离地面的高度BC是x尺，则AC=(10-X)尺，即CD=(10-X)尺，根据勾股定理建立方程求解即可。
20．【答案】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∵AC＝16×3＝48，BC＝60，
∴AB36，
∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，
答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．
【解析】【分析】先求出 ∠CAB＝90°， 再利用勾股定理求出AB=36，最后求解即可。
21．【答案】解：因为米，米，米，
所以在中，（米），
在中，（米），
所以（米），
答：小船移动的距离的长为9米．
【解析】【分析】利用勾股定理先求出AB=15m，BD=6m，再计算求解即可。
22．【答案】解：设，则，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索长是尺．
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理列出方程求解即可。
23．【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
24．【答案】解：设E点在距A点xkm处，
则AE长为xkm，BE长为km.
，是直角三角形.
由勾股定理，得.
同理，在中，，由题意，得，即..
，
解得.
答：E应建在距A点15km处.
【解析】【分析】设E点在距A点xkm处，则AE长为xkm，BE长为km，再利用勾股定理可得，再列出方程求解即可。