2023-2024学年重庆市南岸区文德中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市南岸区文德中学八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的数为( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在( )
A. 三条高线的交点处
B. 三条中线的交点处
C. 三个角的平分线的交点处
D. 三条边的垂直平分线的交点处
4. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A. ：：：： B. ：：：：
C. ，， D. ，
5. 如图，，，垂足为，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，指针落在区域的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第个图案用了根木棍，第个图案用了根木棍，第个图案用了根木棍，第个图案用了根木棍，，按此规律排列下去，则第个图案用的木棍根数是( )
A. B. C. D.
8. 估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，若，则一定等于( )
A.
B.
C.
D.
10. 在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如：，，下列说法：
存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破光刻机，将在年下半年推出第一台工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据用科学记数法可表示为______ ．
12. 计算：______．
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______ ．
14. 如果两个两位数的差是，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是，设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意列方程组为______ ．
15. 在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点若，则 ______ ．
16. 如图是一个底面为正方形的长方体已知该长方体底面边长为，高为若一只瓢虫沿着长方体的表面从点爬到点，则需要爬行的最短距离是______ ．
17. 如图，在中，，是上一点，且，是延长线上一点，，，连接交于，若，则线段的长为______ ．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“递减数”例如：四位数，，是“递减数”；又如：四位数，，不是“递减数”若一个“递减数”为，则这个数为______ ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解下列方程组：
；
．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
21. 本小题分
某县教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所初中学校部分学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图如图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
在调查活动中，教育局采取的调查方式是______ 填写“普查”或“抽样调查”；
教育局抽取的初中生有______ 人，扇形统计图中的值是______ ；
已知平均每天完成作业时长“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取名进行访谈，且每一名学生被抽取的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______ ；
若该县共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有______ 人
22. 本小题分
如图，现测得，，，且．
试说明：
求四边形展区阴影部分的面积．
23. 本小题分
甲乙两车从城出发沿一条笔直公路匀速行驶至城在整个行驶过程中，甲，乙两车离开城距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．
、两城相距______千米，乙车比甲车早到______小时；
求乙车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数解析式；
两车都在行驶的过程中，当甲，乙两车相距千米时，求的值．
24. 本小题分
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ______ ， ______ ；
化简下列格式：
；
；
．
25. 本小题分
在中，，，是的角平分线，于．
如图，连接，求证：是等边三角形；
如图，点为上一点，连结，作等边，连接，求证：；
如图，点为线段上一点，连结，作，交延长线于，探究线段，与之间的数量关系，并证明．
26. 本小题分
如图，四边形中，，．
把沿翻折得到，过点作，垂足为，求证：；
在的条件下，连接，四边形的面积为，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
最小的数为．
故选：．
根据实数的大小比较方法解答即可．
本题考查了实数的大小比较，正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：选项：，故本选项符合题意；
选项：，故本选项不符合题意；
选项：，故本选项不符合题意；
选项：，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．幂的乘方法，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积解答乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、：：：：，，
，，，即不是直角三角形，符合题意；
B、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、，
是直角三角形，不符合题意；
D、，，，
，即是直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余，求出，再根据平行线的性质即可解答．
本题主要考查平行线的性质、垂线及直角三角形的性质，解决此题时，根据直角三角形的性质求出的度数是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，指针落在区域的概率是．
故选：．
用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可．
本题主要考查几何概率，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
7.【答案】
【解析】解：由图可得，图案有：根小木棒，
图案有：根小木棒，
图案有：根小木棒，
，
第个图案有：根小木棒，
第个图案有：根小木棒，
故选：．
根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：原式．
，
，
，
．
故选：．
化简题干中的式子得到，计算出利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．
本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．
9.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，
将绕点顺时针旋转，得，如图所示：
则，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故选：．
根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，故说法正确．
若使其运算结果与原多项式之和为，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法正确．
当添加一个绝对值时，共有种情况，分别是；；；当添加两个绝对值时，共有种情况，分别是；；共有种情况；
有两对运算结果相同，故共有种不同运算结果，故说法不符合题意．
故选：．
根据给定的定义，举出符合条件的说法和说法需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查的是科学记数法，熟知用科学记数法表示较小的数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．
本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件和分母不为，即可求出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，注意分母不等于．
14.【答案】
【解析】解：设较大的两位数为，较小的两位数为，
根据题意，得．
故答案为．
首先设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：两个两位数的差是，与的和是，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
由，就可以得出，就有，就可以得出≌，就有而求出结论．
本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16.【答案】
【解析】解：将长方体左侧面展开与后面所在的平面形成一个长方形，如图所示，
长方体底面边长为，高为．
，，
需要爬行的最短距离；
将长方体的下表面展开与右侧面所在的平面形成一个长方形如图所示，
长方体底面边长为，高为．
，，
需要爬行的最短距离，
，
需要爬行的最短距离为．
故答案为：．
分将长方体左侧面展开与后面所在的平面形成一个长方形，将长方体的下表面展开与右侧面所在的平面形成一个长方形，通过勾股定理分别求解即可得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，根据，可得出，故可得出，利用定理可得出≌，故EH，再由可知，故可得出，进而可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得，
这个数为，
由题意可得，，
整理，可得，
一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：
，
又一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，
是整数，且，，，，，
时，原四位数可得最大值，此时只能取，不符合题意，舍去，
当时，，此时，
取或时，均不符合题意，
当取时，，
满足条件的数的最大值是，
故答案为：；．
根据递减数的概念列方程求的值，根据递减数的概念先求得，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被整除的数的特征分析满足条件的最大值．
本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．
19.【答案】解：将原方程组化简整理得：
，
得：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：；
将原方程组化简整理得：
，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】将原方程组化简整理得：，然后利用加减消元法，进行计算即可解答；
将原方程组化简整理得：，然后利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
20.【答案】解：
当，时，
原式．
【解析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得．
21.【答案】抽样调查
【解析】解：教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
教育局抽取的初中生的人数：人，
所以，
则，
故答案为：，；
所有可能抽到的结果数为，抽到女生的结果数为，且每一名学生被抽到的可能性相同，
，
故答案为：；
该县共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的人数约：人，
故答案为：．
根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
根据的人数人占所有抽样学生的，即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为即可求出的值；
根据概率公式求解；
根据样本中的人数占抽样人数的估计全市人数即可．
本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中的人数占抽样人数的估计全市人数是解题的关键．
22.【答案】解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，；
过点作于点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故四边形展区阴影部分的面积是．
【解析】连接，由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即可求得；
过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，正确作出辅助线证得是直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图象可得，、两城相距千米，乙车比甲车早到小时，
故答案为：，；
设乙车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得，
乙车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数解析式为；
由图象可知，甲行驶的速度是千米小时，
当甲在乙千米千米时，，
解得，
当乙在甲前千米时，，
解得，
答：两车都在行驶的过程中，当甲，乙两车相距千米时，的值为或．
由图象可得，、两城相距千米，乙车比甲车早到小时；
设乙车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数解析式为，将，代入可得函数解析式为；
由图象可知，甲行驶的速度是千米小时，当甲在乙千米千米时，，当乙在甲前千米时，，即可解得的值为或．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
24.【答案】
【解析】解：，
，，
故答案为：，；
原式；
原式；
将原式平方得，
，
所以原式．
将化为即可；
根据完全平方公式将原式化为，再根据二次根式的性质进行化简即可；
根据完全平方公式将原式化为，再根据二次根式的性质进行化简即可；
先将原式平方后进行化简，再求出算术平方根即可．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征以及二次根式的性质是正确解答的前提．
25.【答案】证明：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
证明：与都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：；
证明：延长至，使，连接，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
．
【解析】由直角三角形的性质得出，由角平分线的定义得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论；
由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明≌，得出，得出，即可得出结论；
延长至，使，连接，证出为等边三角形，得出，，得到，证出，由证明≌，得出，证出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．
26.【答案】证明：作于，如图所示：
则，
由得：，，
，，
由折叠的性质得：，，，
设，则，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：作于，于，延长交于，如图所示：
则，
，
，
是等腰直角三角形，，，
的面积，
四边形的面积为，
的面积，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积，
的面积，
即，
，
．
【解析】作于，由等腰三角形的性质得，，由折叠的性质得，，，证明≌，得，即可得出结论；
作于，于，延长交于，则，，求出的面积，求出，由勾股定理得，证≌，得，求出的面积，得的面积，求出，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和翻折变换的性质是解题的关键．
第1页，共1页