2023年湖北省黄石市中考数学试卷（含解析）

2023年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
2. 下列图案中，是中心对称图形．( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，根据三视图，它是由个正方体组合而成的几何体．( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数的自变量的取值范围是( )
A. B. C. 且 D.
6. 我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，班在此次比赛中的得分分别是：，，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，和交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，有一张矩形纸片先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，观察所得的线段，若，则( )
A. B. C. D.
10. 已知二次函数的图象经过三点，，，且对称轴为直线有以下结论：；；当，时，有；对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 计算： ______ ．
13. 据人民日报年月日报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为千瓦，比上年同期翻一番其中用科学记数法表示为______ ．
14. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务如图，当“神舟”十四号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为______ 结果保留．
15. 如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为______ 米参考数据：，
16. 若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为______ ．
17. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中过点作轴于点，则的面积为______ ；若的面积为，则 ______ ．
18. 如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点落在上，与交于点若，，，则 ______ 从“，，”中选择一个符合要求的填空； ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，然后从，，，中选择一个合适的数代入求值．
20. 本小题分
如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．
求证：≌；
求的大小．
21. 本小题分
健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的体质健康标准登记表，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为，得到下表：
成绩 频数 频率
不及格
及格
良好
优秀
请求出该班总人数；
该班有三名学生的最后得分分别是，，，将他们的成绩随机填入表格，求恰好得到的表格是的概率；
设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为，，，，若，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．
22. 本小题分
关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
求黄金分割数；
已知实数，满足：，，且，求的值；
已知两个不相等的实数，满足：，，求的值．
23. 本小题分
某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元件设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数当时，；当时，．
求，的值；
设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
24. 本小题分
如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点．
求证：是的切线；
求证：；
已知，求的值．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
求此抛物线的解析式；
已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
，
故选：．
结合数轴表示确定实数与的符号和大小．
此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解．
2.【答案】
【解析】解：、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意．
故选：．
根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可．
本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，熟练这些法则是解该类题目的关键．
4.【答案】
【解析】解：由俯视图可知，小正方形的个数个．
故选：．
在俯视图中，标出小正方形的个数，可得结论．
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得且，
解得：且，
故选：．
由题意可得且，解得的取值范围即可．
本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：将数据，，，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，，，
则这组数据的众数是，中位数是，
故选：．
先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数，然后再计算出中位数即可．
本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确中位数和众数的含义，会找一组数据的中位数和众数．
7.【答案】
【解析】解：线段由线段平移得到，
且，，，，
．
故选：．
根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，
，，
，
，，
，
．
故选：．
利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】
【解析】解：对折矩形，使与重合，得到折痕，
，，，
折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，，，，，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：因为二次函数的图象过点，且对称轴为直线，
所以由抛物线的对称性可知，点也在抛物线上．
将代入二次函数解析式得，
．
故正确．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，即．
又，
则将代入得，
．
故正确．
因为，，
所以点离对称轴更近．
则当时，；
当时，．
故错误．
由得，
．
又，，
得．
则
．
又，
所以．
即该方程有两个不相等的实数根．
故正确．
故选：．
根据二次函数的对称轴为直线和经过点，再结合抛物线的对称性即可解决问题．
本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出，，的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
将整式变形含有公因式，提取即可．
本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本题分解因式的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
运用科学记数法表示较大数字的方法进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较大数字的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
14.【答案】
【解析】解：设．
由题意，是的切线，
，
，
，
，
的长
故答案为：
设由是的切线，可得，由此构建方程求出，再利用弧长公式求解．
本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，，米，
米，
过作于，
则四边形是矩形，
米，米，
在中，，，
米，
米，
答：地面目标运动的距离约为米．
故答案为：．
根据题意得到，，米，根据三角函数的定义得到米，过作于，根据矩形的性质得到米，米，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和正弦函数的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：解不等式组，得．
它的解集为，
．
故答案为：．
求出不等式组的解，根据其解集求出的取值范围即可．
本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：因为点在反比例函数的图象上，
则，又，
解得．
根据的几何意义可知，
．
过点作轴的垂线，垂足为，
则，
又根据的几何意义可知，
，
则．
又的面积为，且，，
所以，
即．
解得．
又，
所以．
故答案为：，．
由点的坐标可得出的值，再结合的几何意义即可求出的面积．过点作轴的垂线，将的面积转化为梯形的面积，即可求出的值．
本题考查反比例函数中系数的几何意义，熟知的几何意义及将的面积转化为梯形的面积是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由旋转的性质得：，
，，
，
如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
由旋转得：，，
，
，
∽，
，即，
解得：，
由旋转的性质得：四边形是平行四边形，，，，，
，，
，
，即点、、在同一条直线上，
，
，，
∽，
，
即，
设，，
，
解得：，
，
故答案为：；．
由旋转的性质即可求出，连接，由相似三角形的性质可求的长，再证点、、在同一条直线上，然后证∽，即可求解．
本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明∽是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
，，
，，
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
≌；
解：由知≌，
，
，
．
【解析】利用证明全等即可；
根据全等的性质，得到，由，从而求出．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关图形的性质和判定是解题的关键．
21.【答案】解：由表格可知，
成绩为良好的频数为，频率为，
所以该班总人数为：人．
将，，进行随机排列得，
，，；，，；，，；，，；，，；，，．
得到每一列数据是等可能的，
所以恰好得到，，的概率是．
由题知，
抽查班级的学生中，成绩是不及格，及格，良好，优秀的人数分别是，，，，
又该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为，，，，
所以该班学生成绩的总分为：．
又，
所以．
则该班全体学生最后得分的平均分为：分．
所以该校八年级学生体质健康状况是良好．
【解析】根据成绩为良好的频数及频率即可解决问题．
列出所有情况即可解决问题．
用，，，表示出班级全体学生的平均分，再结合即可解决问题．
本题考查加权平均数及以样本估测总体，能根据表格中的数据得出抽取的样本容量是解题的关键．
22.【答案】解：由题意，将代入得，，
．
黄金分割数大于，
黄金分割数为．
，
．
．
又，
，是一元二次方程的两个根．
．
．
由题意，令，，
得，，
．
又得，，
，为两个不相等的实数，
，
．
．
又．
．
．
．
．
【解析】依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；
依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：把时，；时，代入得：
，
解得，；
设第个生产周期创造的利润为万元，
由知，当时，，
，
，，
当时，取得最大值，最大值为，
工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
则只能为，，，
当，时，
的取值范围．
【解析】用待定系数法求出，的值即可；
当时，根据利润售价成本设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
求出时关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：为的直径，
，
平分，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：如图，过作于点，
由可知，，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
平分，，
，
，
．
【解析】连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；
由圆周角定理得，，再证，然后证∽，得，即可得出结论；
过作于点，证，再证∽，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去；
作，
设，
，
∽且相似比为：，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【解析】由待定系数法即可求解；
在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
作，证明∽且相似比为：，故当、、共线时，为最小，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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