2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含解析）

2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若，则的度数是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是( )
A. B. C. D.
5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
7. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且若，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 关于的二次函数的结论：
对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
若图象过点，点，点，则当时，．
若，对应的的整数值有个，则或．
当且时，，则．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式 ______ ．
12. 圆锥的高为，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图扇形的圆心角是______ 度，该圆锥的侧面积是______ 结果用含的式子表示．
13. 某乳业公司要出口一批规格为克罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近质检员从两厂的产品中各随机抽取罐进行检测，测得它们的平均质量均为克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的罐奶粉质量的方差 ______ 填“”或“”或“”
14. 如图，内接于且，弦平分，连接，若，，则 ______ ， ______ ．
15. 甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为______ ．
16. 如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ______ ， ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解不等式组：．
18. 本小题分
如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可
19. 本小题分
月日是国际森林日某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林地球之肺”相关知识的测试活动测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩分
本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ______ ；补全学生成绩频数分布直方图；
所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
若成绩在分及分以上为合格，全校共有名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
20. 本小题分
如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
求证：；
若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
22. 本小题分
学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动到达农场后分组进行劳动，若每位老师带名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带名学生，则有一位老师少带名学生劳动实践结束后，学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有名老师现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有名老师，则共需租车______ 辆；
学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
23. 本小题分
已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
求证：是的切线；
点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
当时，求的长；
求的最大值．
24. 本小题分
探究函数的图象和性质，探究过程如下：
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ______ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是，
故选：．
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的相反数是即可求解．
本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，
．
故选：．
由平行线的性质得到，由平角定义即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
3.【答案】
【解析】解：与无法合并，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
故选：．
根据二次根式及整式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式与整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，
由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，
由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，
综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，
所以选项C中的组合体符合题意，
故选：．
根据简单组合体三视图的形状，大小以及各个部分之间的关系进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：一次函数，
直线经过点，、不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，矛盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，一致，符合题意；
故选：．
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数的取值．
7.【答案】
【解析】解：由题意，连接，记与交于点．
线段垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
又，
≌．
．
在中，
．
在中可得，．
故选：．
依据题意，连接，记与交于点，先证≌，从而得，再由线段垂直平分从而，又在中可得的值，从而再在中可求得．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
8.【答案】
【解析】解：四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率．
故选：．
四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图连接．
在中，，
，点为边上的中点，
，，，．
．
，，
，．
．
又，，
≌．
，．
在中，．
在中，．
又在中，，
．
．
．
故选：．
依据题意，连接，然后先证明≌，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
10.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为，
和关于直线对称，
对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等，
符合题意；
将点代入，得，解得．
函数的解析式为，
当时，随的增大而增大．
当时，，
．
不符合题意；
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
若，对应的的整数值有个，
若，当时，随着的增大而增大，
则，
；
若，当时，随着的增大而减小，
则，
；
或．
符合题意；
当且时，随着的增大而减小，
，
，
解得：，
，
解得：，
不符合题意；
综上所述，正确结论有，共个．
故选：．
根据二次函数的对称轴为，可得，再由即可判断结论；
将点代入抛物线解析式可求得，即，当时，随的增大而增大．即可判断结论；
当时，，当时，，根据若，对应的的整数值有个，分两种情况：若，则，若，则，解不等式即可判断结论；
当且时，随着的增大而减小，由，可得或，解方程即可判断结论．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：圆锥的高为，母线长为，
圆锥底面圆的半径为：，
圆锥底面圆的周长为：．
设展开图扇形的圆心角是，
依题意得：，
解得：，
圆锥的侧面积是：
故答案为：，．
首先求出圆锥底面半径，进而求出圆锥底面圆的周长，然后根据扇形的弧长公式可求出展开图扇形的圆心角，进而再求出扇形的面积即可．
此题主要考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥的高、母线长，底面圆半径之间的关系，扇形的面积公式，弧长公式是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：观察折线统计图可以发现，乙厂家罐奶粉质量的波动较甲厂家罐奶粉质量的波动大，所以，
故答案为：．
根据方差的意义结合图形判断即可．
本题考查折线统计图，方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：内接于且，
为的直径，
，
，
弦平分，
，
，
，，
，，
如图把绕逆时针旋转得到，
，，
，
、、三点共线，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为：，．
首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题．
此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．
15.【答案】
【解析】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得：
，
解得，
经检验符合题意，
答：江水的流速．
故答案为：．
设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，且边长为，
，，，
点为的中点，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
又，
∽，
：：，
即：：：，
．
过点作于点，如图：
在和中，
，
≌，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
∽，
：：，
即：：：，
：：，
：：，
，，
，
∽，
：：：
：：：，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：，．
先求出，证和全等得，，再证∽，利用相似三角形的性质可得的长；过点作于点，先求出，，，证∽得：：：，进而得：：，再证∽，利用相似三角形的性质得，，进而得，最后在中，由勾股定理可求出．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式
；
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可；
分别解两个不等式后即可求得不等式组的解集．
本题考查实数的运算及解一元一次不等式组，熟练掌握实数相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键．
18.【答案】解：过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
两地间距离的长为．
【解析】过作于，求出，，在中可得，即克知两地间距离的长为．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
19.【答案】
【解析】解：由频数分布直方图得：等级有人，
由扇形统计图得：等级占，
．
本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级占，等级占，
等级得人数人，等级的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如图所示；

故答案为：，．
等级是人，等级是人，等级是人，等级是人，等级是人，
所抽取学生成绩的中位数落在等级
故答案为：．
抽取的名学生的成绩中，分及分以上的人数为：人，
人．
答：估计成绩合格的学生有人．
由频数分布直方图得等级有人，由扇形统计图得等级占，据此即可得出本次调查一共随机抽取的学生人数；由扇形统计图得等级占，可求出等级所对应的人数的值，再根据等级占，可求出等级所对应的人数，进而可补全频数分布直方图；
根据等级是人，等级是人，等级是人，等级是人，等级是人可得出所抽取学生成绩的中位数所在的等级．
根据抽取的名学生的成绩中，分及分以上的人数为人可得出成绩合格的学生数．
此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图，并从统计图表中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
．
解：由知≌，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【解析】由平行四边形的性质，角平分线定义推出≌，得到，判定四边形是平行四边形，推出，得到．
由菱形的性质得到，，推出四边形的菱形，由平行线的性质得到，判定是等边三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由≌，得到，判定四边形是平行四边形；证明四边形是菱形．
21.【答案】解：点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
将，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线：位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【解析】连接，，根据正六边形的性质可得出：，，利用待定系数法可得反比例函数的解析式为，再将点的坐标代入反比例函数解析式检验即可；
观察图象，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集即可．
本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质，待定系数法等；根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：设老师有名，学生有名，根据题意，列方程组为：
，解得，
答：老师有名，学生有名．
每辆车上至少有名老师，
汽车总数不能大于辆，
要保证名师生有车坐，汽车总数不能少于取整数辆，
综合可知汽车总数为辆．
故答案为：．
设租用甲客车辆，则租车费用元是的函数，即：
，
整理得：，
学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，
，
，即．
要保证人有车坐，不能小于，所以有两种租车方案：
方案一：租辆甲种客车，辆乙种客车；
方案二：租辆甲种客车，辆乙种客车；
随的增大而增大，
当时，最小，．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为元，
设老师有名，学生有名，根据题意，列方程组解答出来即可；
根据题上条件既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有名老师，车辆数只能是；
根据题上条件设租用甲客车辆，则租车费用元是的函数，得到，列出，取整数解后出方案，再计算最少费用即可．
本题考查了一元二次方程组的解法、一次不等式的解、一次函数的应用，熟练掌握以上运算是解答本题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
；
综上所述，的长为或；
设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【解析】连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；
分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；
设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
故答案为：；
当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
把代入即可求得，运用描点法画出部分的图象，观察图象描述性质即可；
当时，，当时，，根据，可求得点的纵坐标，代入解析式解方程即可；
利用待定系数法可得：直线的表达式为，直线的表达式为，由直线与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式为，联立方程组可求得：，，再运用解直角三角形即可求得答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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