2023-2024学年上海重点学校高三（上）开学数学试卷（暑假反馈）（含解析）

2023-2024学年上海重点学校高三（上）开学数学试卷（暑假反馈）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，以下不等关系不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2. 上海春卷已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
3. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径为，点是圆内的定点，且，弦、均过点，则下列说法错误的是( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
4. 十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数、棱数及面数之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球．根据以上信息知，碳的所有面中五边形的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 不等式的解集为______ ．
6. 已知，则 ______ ．
7. 若，其中是虚数单位，则 ______ ．
8. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则其母线与底面所成角的余弦值为______ ．
9. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______ ．
10. 已知数列的前项和为，则的通项公式 ______ ．
11. 已知，则 ______ ．
12. 已知某八个数据的平均数为，方差为，现又新加入一个数据，此时这九个数据的方差为______ ．
13. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是______ ．
14. 若，则三棱锥的体积为______ ．
15. 在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为______．
16. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，第一象限内的点在的右支上，且，则的内心坐标为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，它们的最小正周期为．
若是奇函数，求和在上的公共减区间；
若的一个零点为，求的最大值．
18. 本小题分
如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，．
求证：；
求直线和平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
已知函数，为的导数．
证明：在区间存在唯一零点；
若时，，求的取值范围．
20. 本小题分
设、分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点．
若的离心率为，求的方程；
设是的右焦点，点是上的任意动点不在直线上，求的面积的最大值；
设，点是直线上的动点，点和是上异于左、右顶点的两点，且、分别在直线和上，求证：直线恒过一定点．
21. 本小题分
已知函数，．
解方程：；
令，求证：；
若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，故A正确；
当时，根据指数函数的单调性知，当时，，当时，，当时，，故B错误；
因为为增函数，，
则，故C正确；
因为，
所以，故D正确．
故选：．
对于，利用不等式的性质判断；
对于，当时，由指数函数的单调性知不能判断与的大小关系，当时显然不成立；
对于，利用的单调性判断；
对于，可将与比大小．
本题主要考查等式与不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，任意给点关于的对称点为，
由，联立方程组：
，
解这个方程组得到，
故选：．
利用对称性质和中点坐标公式进行求解．
巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．
3.【答案】
【解析】解：对于：如图，
设直线与圆相交于，，
则，故A正确；
对于：取的中点为，连接，
则，
而，
所以的取值范围为，故B错误；
对于：当时，，故C正确；
对于：因为，，
所以，故D正确．
故选：．
对于：设直线与圆相交于，，则，即可判断是否正确；
对于：取的中点为，连接，则，又，即可得出的取值范围，即可判断是否B正确；
对于：当时，，即可判断是否正确；
对于：由，，得，即可判断是否正确；
本题考查向量的运算，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设五边形面有个，共棱，六边形面有个，共条棱，
由于每条棱出现在两个面中，
故会被重复计算一次，
所以总棱数，同理每个顶点出现在三个面中，
总顶点数为，
故E，
又，即，即，与联立解得．
故选：．
设五边形面有个，六边形面有个，即可得到总棱数与顶点数，再结合欧拉公式，即可求解．
本题主要考查欧拉公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，即，解得或，
所以不等式解集为．
故答案为：．
将不等式化为，解一元二次不等式求解集．
本题主要考查其他不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，
又，
故．
故答案为：．
应用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，则，，，
所以，
则．
故答案为：．
应用复数除法化简，进而得到，利用周期性求目标式的值．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设母线长为，底面半径为，
由，
，
因此所求角的余弦值即为．
故答案为：．
设母线长为，底面半径为，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值．
本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，，
所以在点处的切线方程为，即，
令得；令得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．
故答案为：．
运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积．
本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
，，
，得出数列的公比为，
，
．
故答案为：．
应用得出等比数列，结合等比数列通项公式计算即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，，
所以，
所以．
故答案为：．
运用条件概率公式、对立事件概率公式及全概率公式即可求得结果．
本题主要考查了条件概率公式、对立事件概率公式及全概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解由题意知，这个数的平均数为，
所以这个数的方差为．
故答案为：．
运用平均数、方差公式计算即可．
本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，且，
令，则其对称轴为，
当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立，
则，解得，
当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立，
则，解得，
综述：或．
故答案为：．
运用复合函数的单调性分别研究当与时在上的单调性，且在恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果．
本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，所以，
点到平面的距离为，
三棱锥的体积为．
故答案为：．
运用空间向量夹角公式可求得，进而可求得，再运用点到面的距离公式可求得点到平面的距离，结合锥体体积公式即可求得结果．
本题考查空间向量的数量积的应用，几何体的体积的求法，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，
则，
，
，当且仅当时取等号，
则，
故的最大值为，
故答案为：
由余弦定理求出和的取值范围，结合基本不等式进行求解即可．
本题主要考查基本不等式的应用，结合余弦定理以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，，，，即，，
则，，
过作交延长线于点，如图所示，
，，
又，，
点轨迹方程为且，
联立，解得，则，
，，
设的内心为，内切圆分别与、、相切于点、、，
设，，，如图所示，
由双曲线的定义知，，即，
又，
由得：，，
，即，设，
由等面积法，
可得，
即，解得，即．
的内心坐标为．
故答案为：．
运用数量积几何意义可求得，联立圆的方程与双曲线方程可求得点坐标，运用双曲线定义及内切圆性质可求得内心的横坐标，再结合等面积法可求得内心的纵坐标．
本题考查双曲线的几何性质，考查圆与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由，得，
又是奇函数，故，
在上，的递减区间是，
的递减区间是，
；
，
把点代入得，
即，
，得，
，
．
【解析】依题意，可得，，进而得出函数及函数的解析式，由此分别求出它们在上的单调递减区间，再取交集即可；
，把点代入化简可得，结合题意可得，进而求得的最大值．
本题主要考查三角函数的图象及性质，考查化简运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：底面为矩形，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
取，，的中点，，，中点，连接，，，
由底面为矩形，可得，，平面，
平面，，
四棱台中，，又，
四边形为等腰梯形，，
，，两两垂直，分别以射线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
由于棱台的上下底面相似，且，，
，
，
，，，
，，
，；
棱台的上下底面相似，且，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线和平面所成角为，
则，
直线和平面所成角的正弦值为．
【解析】推导出，从而平面，取，，的中点，，，中点，连接，，，则，平面，，分别以射线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；
求出平面的法向量，利用向量法能求出直线和平面所成角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】证明：，
，
令，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取极大值为，
又，，
可知函数在上无零点，在上有唯一零点，
在上有唯一零点，
即在上有唯一零点；
解：由知，在上有唯一零点，使得，
且当时，，当时，，
在递增，在递减，
结合，，
可知在上恒成立，
令，表示横过定点的直线，
恒成立，
直线的斜率小于等于，
．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题．
令，对再求导，研究其在上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；
利用的结论，可设的零点为，并结合的正负分析得到在上恒成立，即得出结论．
20.【答案】解：易知，
所以，
解得，
所以椭圆的方程为；
当时，椭圆方程为，
此时，，
所以，
则直线的方程为，
即，
不妨设，且，
此时点到直线的距离为，
当时，取得最大值，最大值为，
所以面积的最大值为；
证明：若，
此时，，
不妨设点，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，
同理可得，
当，即时，
解得，
此时直线的方程为；
当时，直线的方程为，
即，
此时直线恒过点，
综上，直线恒过点．
【解析】由题意，根据椭圆离心率公式求出的值，进而可得的方程；
写出直线的方程，设出点的参数坐标，结合点到线的距离公式及辅助角公式可求得点到直线的距离的最大值，进而可求得三角形面积的最大值；
联立直线方程与椭圆方程可求得点坐标，同理可求得点坐标，分别研究与这两种情况时直线恒过的定点即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：方程，
即，
即有，
可得，
即为，
即，
则，解得；
证明：，，
设，又，
相加可得，即；
由，，
设，又，
相加可得，即．
所以；
即，由为上的奇函数，
可得，即，解得，
由，解得，
所以，
又，可得在上为奇函数，且为增函数，
即为，
即有对任意实数恒成立，
可得，即为，
由，当且仅当时，取得等号，
所以，即的取值范围是．
【解析】由对数的运算性质和指数方程的解法，可得所求解；
推得，，计算可得证明；
由奇函数的定义推得的解析式，判断单调性，化不等式为，即有，再由单调性和参数分离、基本不等式，可得所求范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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