2023-2024学年江苏省南通市高三上学期期初质量监测数学联考试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市高三上学期期初质量监测数学联考试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. “”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
7. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 记函数在区间上的最大值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 任何一个复数其中，都可以表示成：的形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数
10. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数有两个零点，，且，则( )
A. B. 随的增大而减小
C. 随的增大而增大 D. 随的增大而增大
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 写出满足且的一组数对 ．
14. 若命题“，”是假命题，则实数的最大值为 ．
15. 已知树木样本中碳含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳含量，为树龄单位：年通过测定发现某古树样品中碳含量为．，则该古树的树龄约为 万年精确到，
16. 已知函数关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
若，求
若是的充分且不必要条件，求的取值范围．
18. 本小题分
已知函数为奇函数．
求的值
若存在实数，使得成立，求的取值范围．
19. 本小题分
已知函数．
若函数的定义域和值域均为，求的值
若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点．
求的解析式
若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知函数
讨论函数的单调性
证明：当时，．
22. 本小题分
已知函数．
若，证明：
若在区间上有两个极值点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查图以及集合的混合运算，属于基础题．
阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可．
【解答】
解：因为图表示的是，
集合，，
则，
所以，
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及概念．
直接运算后得到复数的虚部．
【解答】
解：因为，
所以复数的虚部为．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数单调性的判定和性质，二次函数的单调性属于基础题．
设，由复合函数的单调性可得在上内单调递增，结合二次函数的性质可得结论．
【解答】
解：设，因为函数在上为减函数，
若函数在区间上是减函数，
则在区间上内单调递增，则，即
故选B
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，属于基础题．
根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．
【解答】
解：若，，则“推不出，如：，，
由“”，可推出“”，
故“”是“”的充分且不必要条件
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数图象的应用，函数的奇偶性，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
根据函数的奇偶性和特殊值代入即可依次排除．
【解答】解：函数，
，
，即函数为奇函数，
故排除，，
又当时，，即，
，
故排除，
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由切线的方程可得，的方程组，解方程即可得到所求和．
【解答】解：函数的导数为，
的图象在点处的切线方程为，
可得，，
解得，，
则．
选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查比较大小，涉及幂函数与指数函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
令 ，求导可比较与，由幂函数的单调性可比较与，进而得解．
【解答】
解：由在上为增函数，则，．
又因为在为增函数，，即，则，
令 ，则，
当时，；当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
则，即 ，
因此，则，又 ，
所以，
所以．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数最值的求法，二次函数的图像与性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于较难题
对分类讨论，分别确认函数在每个区间的极值并结合函数的单调性确定最终的答案。
【解答】
解：
当时，在区间上单调递增，
．
当时，
，，且
，
．
当时，．
故，
故当时，为减函数，
．
当时时，为增函数，
，
当时，．
当时，．
当，
综上所述，的值域为，
所以的最小值为，
故选A。
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了新定义的应用、复数的三角表示、模以及共轭复数，属于中档题．
根据新定义，逐一判定即可得出结论．
【解答】解：对于，，，则，，所以，故A正确；
对于，当，时，，故B错误；
对于，当，时，，则，故C正确；
对于，当，时，，当为偶数时，复数不一定为纯虚数，比如当时，，为实数，故D错误，
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，二次函数的最值，属于中档题．
根据题意由基本不等式求出的最大值，即可判断选项；将代入，得到关于的代数式，利用二次函数求出的最小值，即可判断选项；根据题意由基本不等式求出的最小值，即可判断选项；，化简即可判断选项．
【解答】解：因为，，且，则，当且仅当时取等号，故A不正确；
因为，，且，则，，则，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，，且，则，当且仅当时取等号，故C正确；
因为，，且，则，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的奇偶性和周期函数，属于中档题．
利用抽象函数的奇偶性对、、逐项判断，再利用周期函数对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于因为函数为上的奇函数，所以，因此．
因为函数为偶函数，所以，
因此，故A错误；
对于由选项A知：B正确；
对于由选项A知：，，
因此
而由选项A知：，所以，故C正确；
对于由选项A知：，
因此，所以函数是以为周期的周期函数，
因此，而的值未知，故D错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
对于，设，依题意，直线与函数的图象有两个交点，利用导数作出函数的草图，结合图象可得的范围；
对于，设，作出图象，结合图象可知，由此判断选项B；对于，利用极限思想，易知选项C错误；
对于，设，其中，则，设，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性的性质即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的零点问题以及函数的单调性，考查转化思想，数形结合思想，考查运算求解能力，属于难题．
【解答】解：令，可得，
设，则，
当时，，当时，，
且当时，，当时，，
当时，取得极大值，且极大值为，
作出函数的大致图象如下图所示，
要使函数有两个零点，即直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，，选项A正确；
设，其中直线与函数交点的横坐标为，
直线与函数交点的横坐标为，如图，
由图象可知，，
则，
故随的增大而减小，选项B正确；
当时，，
当时，，
则随的增大并不增大，选项C错误；
由，可得，
设，其中，
则，可得
所以，
设，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
则，
所以在上恒成立，
则在上单调递减，
由复合函数的单调性法则可知，在上为减函数，
又为增函数，
则在上单调递减，
即随的增大而减小，
又随的增大而减小，
则随的增大而增大，选项D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
由于且，只要，，即可满足条件．
【解答】
解：由于且，只要，，可满足条件，
故数对答案不唯一，只要满足，即可
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了存在量词命题的否定，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：由题知命题的否定“，”是真命题．
令，
则，解得，
故实数的最大值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
根据题意结合对数的定义及运算求解．
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
【解答】
由题意可得：，整理得
万年
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．
令，则方程转化为，解得，
作出函数的图象，由题意，原问题等价于有两个不等实数根，且，再分类讨论即可求得答案．
【解答】
解：令，则方程转化为，
即，解得，
作出函数的图象如下图所示，
由题意，方程有个不同的实数解，
即有两个不等实数根，且，
且，
解得时，即；
且，
解得时，即；
故答案为： ．
17.【答案】解：，即，
解得或，
所以或，
当时，，由得，
即，
所以，
所以或．
，，
因为是的充分不必要条件，
所以，
所以，
所以．
所以的取值范围为．
【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
先解不等式求出集合，，再利用集合并集的定义求解即可；
先求出，，再根据题意得到，列出不等式组即可．
18.【答案】由题定义域为，
因为为奇函数，
所以，即，得．
当时，，
所以满足题意，
故．
可化为，
因为是奇函数，
所以．
又由知，
设，，且，则
，
因为，
所以，，，
所以，即
故是上的减函数，
所以可化为．
因为存在实数，使得成立，
所以，解得．
所以的取值范围为
【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
根据奇函数的性质，，即可求得的值；
将可化为，再利用在上为减函数解不等式即可．
19.【答案】解：由题意知，二次函数的对称轴为，
所以函数在上递减，
所以且，
所以
函数在区间上递减，则，
所以，
故当时，，
所以恒成立即为，即，
整理得，，
解得，，
又因为，
所以的取值范围为．

【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的定义域值域及恒成立问题，是中档题．
利用二次函数性质计算即可；
将恒成立转化为，求解即可．
20.【答案】解：，
因为，且的图象经过，两点．
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以在处取得极小值，
所以，
又因为，，
所以，，
解得，，，
所以．
设切点为，则，
因为，所以，
所以切线方程为，
将代入上式，得．
因为曲线恰有三条过点的切线，
所以方程有三个不同实数解．
记，则导函数，
令，得或．
列表
单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增
所以的极大值为，的极小值为，
所以
解得．
故的取值范围是．
【解析】根据的图象经过，两点，可得函数的单调性，确定极小值，
根据，，，即可求出，，的值，
设切点为，则，所以切线方程为，
将代入上式，得因为曲线恰有三条过点的切线，
所以方程有三个不同实数解记，，下面利用导数研究函数的零点，从而求得的范围
本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力、运算求解能力，考查数
形结合思想、化归与转化思想属于中档题．
21.【答案】解：的定义域为，
导函数，
当时，，在上单调递增
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增
时，在上单调递减，在上单调递增．
由得，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以
要证，
只需证，
即证
设，导函数，
令，解得．
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减．
所以．
所以，
所以，
所以．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及导数中的函数不等式
求出原函数的导函数，对进行分类讨论，然后根据导函数的正负判断原函数的单调性；
问题转化为证，设，利用导数求出的最值即可证明。
22.【答案】证明：时，，令，则．
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
而且，
，即．
解：在上有两个极值点，
则，在上有两个不同实数根．
，
设，，
，
令，得．
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数．
又，，，，
当时，方程在上有两个不同的实数根，
的取值范围是．
【解析】【分析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及函数中的极值问题，属于中档题．
由题意知，求导数解不等式可得函数单调性，可证不等式；
问题可化为，求导数可判单调性，可得，对的取值分情况讨论，即可求出实数的取值范围．
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