2023-2024学年北师大版七年级数学上册 2.2 数轴 讲义

2.2数轴讲义北师大版七年级数学上册
基础知识详解
知识点一 数轴
内容 叙述 概念 图示
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，简单地说；规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸 （2）数轴具有三要素：原点，正方向，单位长度，缺一不可 （3）原点的位置，和单位长度的大小可根据实际情况适当选取
知识 详解 画法：（1）画一条直线（一般画成水平的直线）；（2）在直线上任取一点为原点，并用这点表示0（在原点下边标上）。原点：也就是数字0所在的位置，一般根据表示数字的分布情况来确定，如果需要表示的正负数差不多相等时原点在数轴中间；如果正数比负数多得多原点偏左；如果负数比正数多得多原点偏右；（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来；（4）选取适当的长度作为长度单位，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3….从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3…。单位长度：由所要表示多的大小来决定刻度之间距离的大小，如果数字偏大刻度距离可以适当小一些，如果数字偏小刻度距离可以适当大一些。单位长度不一定每个刻度只能表示1。
特别 提醒 注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可. ⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
（3）数轴的画法及常见错误分析： ①画一条水平的直线； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致. 数轴画法的常见错误举例：
出题角度 数轴的概念及画法
例1.　 下列图形表示的数轴正确的是( )．
解析：
A × 直线上没有规定正方向
B × －1的位置标错了
C √ 符合数轴的三要素
D × 单位长度不统一
答案：C
点拨：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，这三者对于数轴来说是缺一不可的。
针对训练1. 如图所画的数轴正确的有（　　）
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
知识点二 有理数与数轴上的点的关系
内容 叙述 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
知识详解 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
特别提醒 数轴上的点不都代表有理数，如.
出题角度1 用数轴表示有理数
例2.　在所给的数轴上画出表示下列各数的点：
分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示，例如2、3.5，可用数轴上分别位于原点右边2个单位，3.5个单位的点表示．每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示，
解：
思维点拨：用数轴表示数方法：1、在已给数轴上表示数：根据数字在对应的刻度上描点表示。2、对于非整数的表示：将刻度进一步细分如 ，需要将0—1之间线段分为3等分则2等分处为该数。3、对于负数的表示：负数都在0的左面，正数都在0的右面。例：+3.5在3和4中间，而-3.5在-3和-4中间。
针对训练2. 画出数轴，并在数轴上表示数-3，0，2.5，-6．
出题角度2 根据点这种数轴上的位置确定数
例3.　指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数．
分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：－2，－3之间的A点是表示，而不是．
解：O表示0，A表示，B表示1，C表示，D表示－4，E表示－0.5．
思想方法： 本题运用了“数形结合”思想解决问题。(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想．
针对训练3. 如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数．
知识点三 利用数轴比较有理数的大小
内容 叙述 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
知识详解 引入数轴后，用数轴上的已知点表示某数，是由“形”到“数”思维过程；把已知数轴上的点表示出来，是由“数”到“形”思维过程。利用数轴比较有理数的大小，就是借助数轴上的点的位置得到有理数的大小关系。
特别提醒 有理数大小比较的两种方法，一种是按照法则，两两比较，另一种是利用数轴，运用这种方法时，首先必须把要比较的数在数轴上表示出来，然后按照它们在数轴上的位置，从左到右（或从右到左）用"<"（或">"）连接，这种方法在比较多个有理数大小时非常简便。
出题角度 比较有理数的大小
例4. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“＜”连接起来：，2，0.5，0，﹣3．
分析：在数轴上正确表示上述各数是解答本题的关键。
解：各数在数轴上表示为：
根据数轴上左边的数总比右边的大可知：﹣3＜﹣＜0＜0.5＜2．
思想方法：本题运用了“数形结合思想”解决问题。由于“数轴上左边的数总比右边的大”，解决此类问题可以把要比较的数分别在数轴上表示出来，数轴上从左到右的顺序就是从小到大的顺序。针对训练4. 如图，写出数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数，并用“＞”号将它们连接起来．
思维误区诊断
误区一 对有理数与数轴上点的关系理解不透彻造成错误
例1.下列语句：①数轴上的点只能表示整数；②数轴上的一个点只能表示一个数；③数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；④数轴上的点所表示的数都是有理数。其中正确的有（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D.4
错解：B或C 或D 正解：A
错因分析：本题容易因对有理数与数轴上点的关系理解不透彻造成错误。有理数和数轴上的点的关系为：①所有有理数都可以用数轴上的点来表示；②数轴上的点并不是都表示有理数，两者之间并非是一一对应的关系。
误区二 对数轴理解不透彻
例2.在数轴上到原点距离为5个单位长度的点表示的数是什么？
错解：5 正解：5和-5
错因分析：忽略了负数，对数轴理解不透彻。
能力拓展展示
能力拓展一 数轴上点的移动与数值大小的变化
例1.如图，在数轴上有A，B，C，三个点，试回答下列问题：
（1）将A点向左移动7个单位长度后，A，B，C三点表示的数中，最小的数是多少？
（2）将C点向右移动7个单位长度后，A，B，C三点表示的数中，最大的数是多少？
分析：利用数形结合思想法，借助数轴将点A、C的运动情况直观地反映在数轴上，其结果一目了然。
解：（1）由图可知：A点表示的数是1，B点表示的数是﹣2，C点表示的数是﹣7，
当将A点向左移动7个单位长度后，A点表示的数为：﹣6，
∵﹣7＜﹣6＜﹣2，∴﹣7最小，
故将A点向左移动7个单位长度后，A，B，C三点表示的数中，最小的数是C点表示的数﹣7；
（2）由图可知
当将C点向右移动7个单位长度后，C点表示的数为：0，
∵﹣2＜0＜1，∴1最大，
将C点向右移动7个单位长度后，A，B，C三点表示的数中，最大的数是A点表示的数1．
思维点拨：画出图形，结合图形观察点的运动路线，可以较为直观地得出结果。
数轴上点的移动：(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0 )个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.
(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．
能力拓展二 数轴上的点与有理数的关系的综合应用
例2.（1）如图所示，写出数轴上的点A，B，C，D表示的数。
（2）请你画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”将这些数连接起来．
+3，-3.5，-，-2，-5，0，，6．
(
（1)准确读出数轴上的数值
)（3）在数轴上到表示-1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？
(
根据数轴知识
)分析：
(
（2）准确画出数值在数轴上的位置
)
(
（3）准确找出这些点
)
解：（1）A表示-4，B表示1.5，C表示0，D表示-1.5，E表示4．
（2）在数轴上表示为：
可以看出：-5＜-3.5＜-2＜-＜0＜＜3＜6．
（3）在数轴上到表示-1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是0和-2。
思维点拨：引入数轴后，用数轴上的已知点表示某数，是由“形”到“数”思维过程；把已知数轴上的点表示出来，是由“数”到“形”思维过程。二者互相补充，相辅相成，把复杂的问题转化为了简单的问题。
(
在汽车站西20m
) (
百货商店
)例3.一条东西走向的马路边有汽车站、邮政局、百货商场、报刊亭等建筑物，邮政局在汽车站西50 m处，报刊亭在汽车站和邮政局之间，距离邮政局20 m，百货商场在报刊亭东10 m处，请说出百货商场在汽车站的哪边，距离汽车站多远？
(
规定三要素
) (
邮电局
) (
汽车站为原点
) (
向东（右）
) (
把马路看做一条直线
)分析：
(
在汽车站西50m
) (
数轴
)
(
报刊亭
) (
为正
)
(
在汽车站西30m
)
解：把马路看做一条直线，以汽车站为原点，规定向东的方向为正方向，以1 cm代表10 m为一个单位长度建立如图所示的数轴，并把各个建筑物用点表示出来，从数轴上可以得出百货商场在汽车站西20 m处．
思想方法：本题运用了“转化思想”解决问题。解此类题时可以将某一地点定为原点，令向东为正方向，某一长度为单位长度，借助数轴表示出其他地点的位置，画出运动示意图然后再解决实际问题。
能力拓展三 有关数轴的推理题
例4.在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：
（1）A、B之间的距离是　3　
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是：　 ；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数　 　表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M：　 　 N：　 　．
分析：（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣2表示的点相距4单位，其对称点为﹣1，由此得出与B点重合的点；
（4）对称点为﹣0.5，M点在对称点左边，离对称点2011÷2=1005.5个单位，N点在对称点右边，离对称点1005.5个单位，由此求出M、N两点表示的数．
解：（1）A、B之间的距离是1+|﹣2|=3．故答案为：3；
（2）与点A的距离为5的点表示的数是：﹣4或6．故答案为：﹣4或6；
（3）则A点与﹣3重合，则对称点是﹣1，则数B关于﹣1的对称点是：0．故答案为：0，；
（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧）可知，
M点表示数﹣1007，N点表示数1005．故答案为：﹣1007，1005．
思维点拨：本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
中考真题展示
考查角度1 有理数大小的比较
例1.（2022·北京）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
解析：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：2答案：D
角度2 数轴上两点之间的距离
例2.（2023 湖南省永州市）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（ ）
A． 2013 B． 2014 C． 2015 D． 2016
解析：因为数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B分别位于原点的左、右两边，所以A和B两点间的距离为﹣1和2014的两点到原点的距离之和，即1+2014=2015.
答案：C
知识要点展示