2.5直线与圆的位置关系 解答题专题训练（含答案）2023-2024学年苏科版九年级数学上册

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《2.5直线与圆的位置关系》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知是的直径，是弦，为延长线上一点，，．判断是否为的切线，并说明理由；
2．如图，，与相交于点，以点为圆心的圆过，两点及的中点，求证：是的切线．

3．如图，中，，平分交于．

(1)尺规作图：求作，使得圆心在上，且经过、两点；
(2)求证：直线是的切线．
4．在正方形中，是边上的点．

(1)尺规作图：在图中求作，使得与、均相切；保留作图痕迹，不写作法
(2)在（1）的条件下，设与相切于点，连接，求的度数．
5．如图，的直径，弦于点H，．

(1)求的长；
(2)延长到P，过P作的切线，切点为C，若，求的长．
6．如图，在中，为的直径，为弦、，．

(1)求的度数；
(2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线．
7．如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
8．如图，是的直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为．

(1)求证：平分；
(2)若的半径为，，求的长．
9．如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的半径．
10．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，，与相交于点F．是半圆O所在圆的切线，与的延长线相交于点E．

(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
11．已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果正方形边长为，求的半径．
12．在中，，是边上一点，以为直径作交于点，并且与相切于点，连接．
(1)求证；；
(2)若的半径为，，求的长．
13．如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接、，平分，．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长．
14．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，平分，求线段的长．
15．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)当，时，求的长．
16．如图，在中，，点B是上一点，的角平分线交以为直径的于点E，过点B作，垂足为F， 恰好过点C．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长．
17．已知：如图，在中，，D是的中点．以为直径作，交边于点P，连接，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的切线，，求的长．
18．如图，为的直径，是圆的切线，切点为B，平行于弦．
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点F，且，求的半径．
19．已知为的直径，，为上一点，连接．
(1)如图1，若AC，求证：点为半圆的中点；
(2)如图2，延长到，若，为的半径，且，连接．求证：是的切线．
20．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．

(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：．
(2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标．
参考答案
1．证明：，，
，，
，
，
是的切线．
2．证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴是的切线．

3．解：（1）如图，

即为所求；
（2）证明：连接．
根据作答图可知点O在线段的垂直平分线上，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
4．（1）解：如图：即为所求；

（2）在正方形中，平分，
，
与、均相切，
，
．
5．（1）解：∵直径，弦于点H，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵切于点C，
∴，
∵，
∴，或（舍去），
∴．
6．（1）解：在中，，则为等腰三角形，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）证：如图所示，作于点，

由（1）知为等边三角形，
∵，
∴，，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为半径的外端点，
∴为的切线．
7．（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接，

平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
∴；
②过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
8．（1）解：如图，连接．

∵直线切圆于点，
，
，
∴，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
9．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴直线是的切线；
（2）解：设的半径为，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
即的半径为．
10．（1）证明：∵是的直径，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是半圆O所在圆的切线，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴平分．
11．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴是的直径，
∵，，
∴，
∴，即
∴是的切线．
（2）解：如图所示，连接，
∵与相切于点，即是的切线，
∴，且（圆的半径相等），
过作于，则四边形是矩形，，
∴，
∵，即分别是的中点，
∴，
设，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
12．（1）证明：∵是的切线，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
∴的长为．
13．（1）解：猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
轴，
轴，
是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）解：如图，过点M作轴于点N，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
设，则，
，
在中，由勾股定理可知，，
，
解得或（舍去），
，
．
14．（1）证明：如图，连接，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴.
∴在中，，
根据勾股定理，得，
∴在中，．
15．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的切线．
（2）连接，
为⊙O的直径，
，
又，且，
，
在中，，，
根据勾股定理得：
又，
即，
．
16．（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点C在上，
∴：是切线；
（2）解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
17．（1）证明：∵，D是的中点，
∴．
又∵是直径，
∴是的切线．
（2）
解：连接.
∵点D是边的中点，，
∴，
∴．
∴，
∵是的切线，O为圆心，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴．
18．（1）证明：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为，
在中，，
即，
解得：，
∴的半径为3．
19．（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，则有，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点．
（2）证明：连接交于点，如图所示，
∵为的直径，
∴，则有，
又∵，点为的中点，且，
∴，即，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴是的切线．
20．（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，
∴连接，，过点作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∵点，的坐标分别是，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点．