1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 14:49:38 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
空间向量
空间向量的基本概念（重点）
空间向量的线性运算（重点）
1
2
共线、共面定理
3
新课导入
导
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
问题导学（5分钟）
阅读课本2-5页，并思考下列问题
1.空间向量及相关概念有哪些？
2.空间向量的线性运算有哪些？
空间向量的概念
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.
平面向量
空间向量
类比的方法
平面向量
空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，
有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，
则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
B
a
O
C
A
B
空间向量的概念
O
C
A
B
零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
记为0.
单位向量：模为1的向量叫单位向量.
相反向量：与向量a长度相等而方向相
反的向量，称为a的相反向
量，记为-a.
特殊向量
空间向量的概念
共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0//a
a
b
c
空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，
同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
如图，已知空间向量a，b，以任意点O为起点，作向量OA=a，OB=b，我们就可以把它们平移到同一个平面a内.
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量
中有关结论仍适用于它们.
思考：空间中任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面内？
问题
在学面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间向量的线性运算 加法
减法
数乘
空间向量的运算（同平面向量）
当λ＝0时，λa＝0
想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？
没有影响，向量起点可以平移到任何位置.
空间向量的运算律
运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
（3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况：
①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+.
由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽.
所以＝，∠＝∠.
因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+.
②当<0时，可类似证明（+）＝+.
思考 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
思考 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0
不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
空间向量的线性运算
例：
共线向量
【规定】：零向量与任意向量共线.
共线定理
O
A
B
P
a
O
A
B
P
a
共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
学习新知
共面向量定理：
B
A
C
O
p
学习新知
（1）必要性：如果向量p与向量a，b共面，
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使p＝x a＋y b
证明：
（2）充分性：如果p 满足关系式p＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝p，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故p，a，b共面
学习新知
即，P、A、B、C四点共面。
巩固练习
得证.
为什么
巩固练习
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以 E、F、G、H共面。
例题
A
M
C
G
D
B
D
ABD
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
E
F
小结
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量
共线向量
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
“
”
本课结束
1.1.1空间向量及其线性运算
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
空间向量
空间向量的基本概念（重点）
空间向量的线性运算（重点）
1
2
共线、共面定理
3
新课导入
导
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类比
问题导学（5分钟）
阅读课本2-5页，并思考下列问题
1.空间向量及相关概念有哪些？
2.空间向量的线性运算有哪些？
空间向量的概念
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.
平面向量
空间向量
类比的方法
平面向量
空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，
有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，
则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
B
a
O
C
A
B
空间向量的概念
O
C
A
B
零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
记为0.
单位向量：模为1的向量叫单位向量.
相反向量：与向量a长度相等而方向相
反的向量，称为a的相反向
量，记为-a.
特殊向量
空间向量的概念
共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0//a
a
b
c
空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，
同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
如图，已知空间向量a，b，以任意点O为起点，作向量OA=a，OB=b，我们就可以把它们平移到同一个平面a内.
a
b
a
b
O
A
B
b
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量
中有关结论仍适用于它们.
思考：空间中任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面内？
问题
在学面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间向量的线性运算 加法
减法
数乘
空间向量的运算（同平面向量）
当λ＝0时，λa＝0
想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？
没有影响，向量起点可以平移到任何位置.
空间向量的运算律
运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
（3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况：
①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+.
由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽.
所以＝，∠＝∠.
因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+.
②当<0时，可类似证明（+）＝+.
思考 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
思考 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0
不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
空间向量的线性运算
例：
共线向量
【规定】：零向量与任意向量共线.
共线定理
O
A
B
P
a
O
A
B
P
a
共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
学习新知
共面向量定理：
B
A
C
O
p
学习新知
（1）必要性：如果向量p与向量a，b共面，
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使p＝x a＋y b
证明：
（2）充分性：如果p 满足关系式p＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝p，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故p，a，b共面
学习新知
即，P、A、B、C四点共面。
巩固练习
得证.
为什么
巩固练习
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以 E、F、G、H共面。
例题
A
M
C
G
D
B
D
ABD
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
E
F
小结
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量
共线向量
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
“
”
本课结束