2022-2023学年江西省吉安市青原区双校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省吉安市青原区双校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4. 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件“个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，则( )
A. B. C. D.
5. 已知，是圆：上不同的两个动点，，为坐标原点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 设函数的定义域是，且满足：对于任意的，；对于任意的，，恒有则下列结论：对于任意的，；在上单调递减；的图象关于直线对称，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知是等比数列，，，则公比( )
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B. 若曲线在点处有切线，则必存在
C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D. 若曲线在点处没有切线，则有可能存在
11. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，则如下结论正确的是( )
A. ，
B. ，，
C. ，使得当时，总有
D. ，使得当时，总有
12. 已知方程常数，下列说法正确的有( )
A. 为方程实根 B.
C. 方程在无实根 D. 方程所有实根之和大于
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 甲、乙、丙、丁人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，且同一级台阶上的人不分次序，则不同的站法种数是______ 用数字写答
15. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为______ ．
16. 任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于的等比数列，且，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边上的高所在直线的方程；
求边上的中线所在直线的方程．
18. 本小题分
已知等差数列的前项和为，．
求的通项公式；
记数列的前项和为，求．
19. 本小题分
从这个数字取出个数字，试问：
能组成多少个没有重复数字的三位数？
能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？
20. 本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，，点，在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图．
求证：平面；
当多面体的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 本小题分
已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．
求的方程；
已知点，均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线，分别交椭圆于另一点，，证明：直线与直线垂直．
22. 本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据补集的概念直接计算．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由双曲线，得，，
双曲线的渐近线方程是．
故选：．
由双曲线方程求得与的值，则渐近线方程可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
整理，得，
，
且，
．
故选：．
先设等差数列的公差为，根据题干已知条件及等差数列的通项公式推导出，再根据等差数列的求和公式计算的关于的表达式，进一步代入推导即可得到结果．
本题主要考查等差数列的基本运算，考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：事件“个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，
则，，
，
故选：．
先求出“个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入公式计算即可．
本题考查条件概率的应用，以及有关的排列组合问题，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，圆的圆心坐标，半径，
设圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，即，解得，
设的中点为，，
点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，
点的轨迹方程为，
根据向量的运算可得，，
又，
，即，
即的取值范围为
故选：．
根据已知条件，结合弦长公式，即可求解点的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，，再结合点与圆的位置关系，即可求解．
本题主要考查轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数公式的运用，是基础题．
根据导数公式判定即可．
【解答】
解：根据导数公式有，A正确，
，B错误，
，C错误，
，D错误．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：由题意，令，
则不等式，
由对于任意的，，
由基本不等式可得：，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时函数的图象关于直线对称，故正确；
令，可得，故错误；
又由，
则不等式，
于是可得，
对于任意的，，，
恒成立，
函数是常数函数，
则，
由对勾函数的性质可知，此时函数在单调递减，在单调递增，
只有当时，函数在上单调递减，故错误．
说法正确的只有，共个．
故选：．
令，由可得，当且仅当时成，从而判断；
令，可得，从而判断；
由题意可得函数是常数函数，从而有，此时函数在单调递减，在单调递增，即可判断．
本题考查了判断抽象函数的单调性、对称性及转化思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知，，
因为，
所以，
则，
又，
则，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，
所以，
此时，
则，
整理得，
所以，
综上，．
故选：．
根据，，得到，构造函数，对函数进行求导，得到函数的单调性，由，得到，结合函数单调性得到，此时，再求解即可．
本题考查利用导数研究函数单调性以及对数值的大小比较，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得或．
故选：．
利用等比数列的通项公式即可求解
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
若不存在，
此时只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，
当斜率不存在时，切线也有可能存在，
此时切线方程为，故选项A和选项C正确．
故选：．
由题意，结合的意义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查导数的几何意义，考查了逻辑推理能力．
11.【答案】
【解析】解：对于，，，
两式相减得：，
，，
即，，故选项A正确；
对于，，，
，，
又数列，是正实数数列，
，，
即，，，故选项B正确；
对于，由上可知，又为常数，为递增数列，
故当时，，
又，所以，使得当时，总有，故选项C正确；
对于，，又，
，
又为常数，为递增数列，
当时，，，故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，利用数列的单调性、函数的性质进行求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了数列的函数特征，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：方程，等价为，
令，则方程等价为，
即，
得或，
设，，，
由得，即，此时为增函数，
由得，即，此时为减函数，
即当时，取得极大值，
作出的图象如图：
则，则当时，，即方程在无实根，故C正确，
当时，，即是方程的根，故A正确．
等价为，
在上为减函数，
，即，则，故B错误，
由，得，即是方程的一个根，
设的两个根为，，设，则，，
又，
设，，
，当，，且，
即当时，，
则在单调递减，
，即．
，
即，即，则，
则方程所有实根之和大于，故D正确．
故选：．
利用换元法将方程转化为，求出方程的根，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，作出函数的图象，利用函数的单调性进行判断即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法和构造法将方程进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，故．
故答案为：．
先求导，再代入即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可以分以下三种情形：
没有二人在同一台阶，则有种，
只有二人同一台阶，则有种，
有二人在同一台阶，另二人也在同一台阶上，则有种，
则一共有种方式．
故答案为：．
根据排列组合知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又，、平面，所以平面平面，
平面与平面间的距离即为点到平面的距离．
根据题意，底面，，，两两垂直，
则以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设为平面的法向量，则，
即，取可得，
点到平面的距离记为，
则，
平面与平面间的距离为．
故答案为：．
先证明平面平面，则平面与平面间的距离即为点到平面的距离，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离，从而可得答案．
本题考查面面间的距离和面面平行的性质，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题可得函数，
由数列是公比大于的等比数列，且，
当时，因为
所以，，，，，，，，，，
由等比数列通项公式可得，
所以，
整个数列为，
因为，
所以，
即，
由对数运算，
所以化简后可得，即，
即，所以；
当时，，
此时，
，
所以不成立；
当时，，，
整个数列为，
所以，，，，，，，，，，
因为，
所以，
即，
由对数运算知：，
化简可得，即，
所以当时，，
所以，，故方程无解；
综上所述，．
故答案为：．
根据定义可得函数的解析式，对等比数列的公比分，，三种情况讨论，再结合对数的运算性质即可求得数列的首项．
本题考查等比数列和对数的运算，是新定义题型，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，且，
所以，
则边上的高所在直线的方程为，化简得；
由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得．
【解析】由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；
求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解．
本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
又，
解得，，
所以；
，
所以
．
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，第一类：每一位数字都不是的三位数有个，
第二类：个位数字是的三位数有个，
第三类：十位数字是的三位数有个，
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数；
由题意，第一类：当个位数字是时，且百位不能为的三位数有个；
第二类：当个位数字是时，且百位不能为的三位数有个；
第三类：当个位数字是时，且百位不能为的三位数有个；
第四类：当个位数字是时，且百位不能为的三位数有个；
第五类：当个位数字是时，且百位不能为的三位数有个；
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数．
【解析】根据题意，分别求得每一位数字都不是的三位数、个位数字是的三位数和十位数字是的三位数，结合分类计数原理即可求解；
可分为五类：当个位数字是时，且百位不能为；个位数字是时，且百位不能为；个位数字是时，且百位不能为；个位数字是时，且百位不能为；个位数字是时，且百位不能为的三位数，结合分类计数原理，即可求解．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
20.【答案】证明：连接，，，六边形为正六边形，则，
在翻折过程中，，平面，平面，所以平面．
解：连接，分别交于，，则，，
翻折过程中，平面，平面，，
，，所以平面，同理平面，
所以平面平面又因为，
则三棱柱为直三棱柱，，，
且，，．
设，所以，
．
所以，即，，，为二面角的平面角，
即平面平面以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，
建立空间直角坐标系如图，则，，，
，，，
，
设平面的一个法向量，有，
令得，同理可得平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，观察图可知其为锐角，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由正六边形的性质可得，即可证；，由此可得，再求平面与平面的法向量，代入公式即可得．
本题考查线面平行，线面垂直，面面垂直，二面角，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，，，，
由，得，即，可得，
又，解得，，
椭圆的方程为；
证明：设，，可得，
以为直径的圆经过点，，即，
，
，：，
联立，得．
，得，
，则；
同理可得
，
又，
．
又，．
，即．
【解析】由题意得，，的坐标，再由，整理可得，结合隐含条件即可求得与的值，则椭圆方程可求；
设，，可得，由已知可得，推出，写出所在直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理求得点坐标，再由即可证明．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：定义域为，，
当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减．
记，
由知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；
首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题的求解，指对同构法，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属难题．
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