2023-2024学年江西省宜春市上高县高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市上高县高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知复数满足：为虚数单位，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
4. 函数在区间的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地已知某班级有，，，，共位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知函数在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若正实数，满足，则下列结论中正确的有( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. 下列命题中，正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. “”是“，”的充分不必要条件
C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则
D. 一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为
11. 已知正四棱柱的底面边长为，，则( )
A. 平面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点到平面的距离为
12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则( )
A.
B.
C. 平分
D. 延长交直线于点，则，，三点共线
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于______ ．
14. 设数列的前项的和为，且，则 ______ ．
15. 已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______ ．
16. 已知双曲线的右焦点为，点，在双曲线上，且关于原点对称若，的面积为，则双曲线的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求常数的值；
求使成立的的取值集合．
18. 本小题分
已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列．
求数列的前项和；
记，证明：．
19. 本小题分
如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
若为线段上的一个动点，证明：平面；
若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
20. 本小题分
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛局，甲队最终获胜的概率；
求甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利的概率；
若已知甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：，四点，，，中恰有三点在双曲线上．
求的方程；
设直线不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为证明：过定点．
22. 本小题分
已知函数，．
设在处的切线为，在处的切线为，若，求的值；
若方程有两个实根，求实数的取值范围；
设，若在内单调递减，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．
利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．
【解答】
解：对于，，
所以函数的最小值为，故选项A错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项B错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故选项C正确；
对于，因为当时，，
所以函数的最小值不是，故选项D错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】由，可得，可得．
故选：．
根据复数的运算法则，得到，结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，
又，所以是奇函数，故BC错误；
而，故D错误；
由于排除了，而又满足上述性质，故A正确．
故选：．
利用函数的奇偶性与特殊点法判断即可．
本题主要考查了函数的性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：位同学选择所学校，每所学校至少有一位同学选择，
则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，
当有两位同学选择了浙江大学时，
则，，，这 位同学在所大学中分别选了一所，共种选法；
当只有同学选择了浙江大学时，
则，，，这 位同学在其余所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，
则有两位同学选择了同一所学校，共种选法；
所以同学选择浙江大学的不同方法共有种．
故选：．
依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因的斜率为，
则．
故选：．
由题可得，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，化归转化思想，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
如图所示，
则，，
所以，
故求的最小值可转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，
设坐标为，
则，
解得，
故G，
因为，
可得，
当，，三点共线时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点与直线的位置关系，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
设，则．
在上单调递增．
又，为奇函数，
．
．
故选：．
由已知得，所以构造函数，求导后可得，可得在上单调递增，然后对变形得，再利用其单调性可求得结果．
本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件合理构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解不等式，考查转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为，故A项正确；
对于项，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故B项错误；
对于项，，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C项错误；
对于项，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故D项正确．
故选：．
根据进行计算然后可判断项；利用“”的妙用及均值不等式计算可判断项；根据可判断项，将变形为，然后结合的范围可判断项．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，
则，A正确；
对于，，，只需，解得，
“”是“”的充分不必要条件，
即“”是“，”的充分不必要条件，故B正确；
对于，显然，则有，，解得，故C正确；
对于，一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为，故D正确．
故选：．
对于，利用正态分布的对称性计算并判断；对于，利用充分不必要条件计算并判断；对于，利用二项分布的期望与方差计算并判断；对于，利用平均数的性质公式计算并判断．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图，
在正四棱柱中，，，
四边形为平行四边形，则B.
平面，平面，
平面，故A正确；
，异面直线与所成角即为．
由已知求得，，
则，故B错误；
在正四棱柱中，底面，则，
又，，平面，故C正确；
设点到平面的距离为，由，
得，则．
即点到平面的距离为，故D正确．
故选：．
利用直线与平面平行的判定判断；求出异面直线所成角的余弦值判断；证明直线与平面垂直判断；利用等体积法求出点到平面的距离判断．
本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，，
因为轴，且过点，
所以，
把代入抛物线的方程，
解得，即，
由题知，直线经过焦点，
直线的方程为，即，
联立，得，
所以，，
对于：，与矛盾，故A错误；
对于：
，故B正确；
对于：，
所以，
由光学性质可知轴，轴，
所以，
所以，
所以，
所以平分，故C正确；
对于：因为，，
所以，
直线的方程为，
联立，解得，
所以点坐标为，
所以，，三点纵坐标都相同，
所以，，三点共线，故D正确．
故选：．
设，，由轴，且过点，推出点坐标，写出直线的方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，即可判断是否正确；由弦长公式计算出，即可得出是否正确；计算得，推出，由光学性质可知，则，进而可得平分，即可判断是否正确；解得点坐标，推出，，三点纵坐标都相同，即可判断是否正确．
本题考查抛物线的应用，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项为，
令，得，
所以含项的系数为；
令，得，
所以含项的系数为．
由题意得，
整理得，
所以，
解得．
故答案为：．
先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含项与含项的系数，然后根据题意得到关于的方程，解方程可得所求．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，，
，
．
故答案为：．
先根据题干已知条件结合公式推导出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，最后运用裂项相消法即可计算出结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：由圆，可得圆，
可得圆心，半径，
记点为，则，
当弦与垂直时，弦长最短，
此时弦长为．
故答案为：．
求得点到圆心的距离，利用垂径定理可求弦长的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的求法，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：设双曲线的左焦点为，连，，
，四边形为矩形．
不妨设点在双曲线的右支上，设，，
则，可得：．
，即，
，得离心率．
故答案为：．
设双曲线的左焦点为，连，，可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出，的关系，从而可求出离心率．
本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由已知，
又，，
故时，故；
，，，
，
所求的取值集合为．
【解析】利用三角函数的恒等变换得到，又，得到，利用函数的最大值即可求解；
由题意得到，即可求解．
本题考查了三角函数的最值计算，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可知，，
所以，
即，解得舍去或，
所以，
所以．
证明：由知，
所以
，
又，，
所以，得证．
【解析】结合等比中项与等差数列的通项公式，求得公差和通项公式，再由等差数列的前项和公式，得解；
利用裂项求和法，即可得证．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：由题知四边形为矩形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
同理可知面，
又因为，面，面，
所以面面，
又因为面，
所以面．
因为面面，且面面，，面，
所以面，
又因为底面是菱形，且，，
所以是等边三角形，且，
设，
取的中点为，连接，如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
化简得，
解得或，
所以的长为或．
【解析】根据题意可得面，同理可知面，由面面平行的判定定理可得面面，又面，即可得出答案．
由线面垂直的判定定理可得面，设，取的中点为，连接，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，
设事件“甲队第局获胜”，其中，，，，相互独立，
又甲队明星队员前四局不出场，故，
又，
；
设为甲局获得最终胜利，为前局甲队明星队员上场比赛，
则由全概率公式可知：，
每名队员上场顺序随机，，
又，，，
；
根据贝叶斯公式可得：
．
【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；
根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；
根据贝叶斯公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．
21.【答案】解：易知双曲线：关于轴对称，，关于轴对称，
故，都在双曲线上，
若，，在双曲线上，
则，
可得，不满足；
若，，在双曲线上，
则，
可得，满足，
故双曲线的方程为；
证明：设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，则，不符合题设；
从而可设：，
将代入，得，
则，
化简得，
设，
则，，
而，
化简得，即舍去，一定不满足，
所以的方程为，过定点．
【解析】分析可知，都在双曲线上，可得，进而得出双曲线方程；
易知与轴垂直时，不符合题意，进而可设：，联立直线与双曲线的方程，得到两根之和与两根之积，再结合直线与直线的斜率的和为，可得与的关系，进而得证．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，
由题意知：，
故．
方程
，
令，则，
当时，，，
所以，所以，故单调增；
当时，，，
所以，所以，故单调减．
从而
又，当时，，
原方程有两个实根等价于直线与的图象有两个交点，故．
由题意，
得
因为在内单调递减，
所以在内恒成立，
由于，故只需在内恒成立，
即在内恒成立，
令，，
当时，，故单调减；
当时，，故单调增．
下面只要比较与的大小．
思路：详细过程略
先证明：
又，
故当时，
即
所以
所以．
【解析】求出函数的导数，根据直线的斜率相等，求值即可；
得到，令，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出的范围即可；
求出的导数，问题转化为在内恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道综合题．
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