1.1集合的概念与表示
一、单选题
1．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
6．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
10．下面说法不正确的是（ ）
A．集合N中最小的数是0
B．若-a不属于N，则a属于N
C．若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2
D．x2+1=2x的解可表示为{1，1}
11．（多选题）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
12．方程组，的解集可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．集合中实数a的取值范围是________
14．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).
15．用列举法表示方程的解集为______________.
16．已知集合，集合，则_______________.
四、解答题
17．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
18．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
20．设集合，；
（1）用列举法表示集合；
（2）若是的充分条件，求实数的值.
21．已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证：
(1)若，则S中必有另外两个元素；
(2)集合S中不可能只有一个元素．
22．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.1.1集合的概念与表示
一、单选题
1．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】易知①，②，③，正确
④，不正确，应该是故选：C.
2．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．故选：D．
3．由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A
4．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据元素与集合的关系可得，，，，故D不正确，符合题意.故选：D.
5．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，
集合，
因为时，成立，所以.故选：C.
6．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
7．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，所以，
又因为，则，即，故选：．
8．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是.故选：B.
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
【答案】ABC
【解析】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，
所以B不正确；对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.
10．下面说法不正确的是（ ）
A．集合N中最小的数是0
B．若-a不属于N，则a属于N
C．若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2
D．x2+1=2x的解可表示为{1，1}
【答案】BCD
【解析】因为集合N中最小的数是0，所以A说法正确；
因为N表示自然数集，-0.5 N，0.5 N，所以B说法不正确；当a=0，b=1时，a+b=1<2，所以C说法不正确；根据集合中元素的互异性知D说法不正确.故选：BCD．
11．（多选题）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.故选ACD.
12．方程组，的解集可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，方程组，解得，其解集中只含有一个元素，
根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的集合，不符合要求，所以不能表示为．故选：ABD．
三、填空题
13．集合中实数a的取值范围是________
【答案】且
【解析】由题意，且，故答案为且.
14．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).
【答案】
【解析】由知，集合B为A的非空子集或空集，即或，
解得或故答案为：
15．用列举法表示方程的解集为______________.
【答案】
【解析】由得或，所以方程的解集为.
故答案为：
16．已知集合，集合，则_______________.
【答案】
【解析】因为，所以.
故答案为：.
四、解答题
17．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【解析】 (1)
不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
18．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
【解析】（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因为，所以
当，则；当，则；当，则；综上可得
19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【解析】（1），．，．
，．中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，
所以，．
20．设集合，；
（1）用列举法表示集合；
（2）若是的充分条件，求实数的值.
【解析】（1）
即或 ，；
（2）若是的充分条件，则 ，
，解得 或，
当时，，满足，
当时， ，同样满足，所以或.
21．已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证：
(1)若，则S中必有另外两个元素；
(2)集合S中不可能只有一个元素．
【解析】 (1)∵，∴，同理：，，
∴S中还有-1，两个元素.
(2)不妨设S为单元素集，则，整理得，解得，
∴S不可能为单个元素集合.
22．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，或解得.
综上，所求的取值范围是.
