【高效备课】人教版八(上) 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案
文档属性
| 名称 | 【高效备课】人教版八(上) 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 184.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 15:09:01 | ||
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文档简介
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
3.通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
4.本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【教学难点】
巧妙运用性质解题.
一、情境导入，初步认识
用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.
老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.
（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠BAC=60°,
∴∠B=30°.
∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=30°.
∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.
∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.
∵CM=AM=7.5cm.
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.
【教学说明】
在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.
例2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.
解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°.
又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.
∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD=30°.
∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,
∴CM=CD=2.
又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,
∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.
∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,
∠A=60°,
∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8.
【教学说明】
直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.
【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.
例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.
解：延长AD、BC交于点E,
在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,
又∵∠CDE=180°-120°=60°,
∴∠DCE=60°.
∴△CED是等边三角形.
设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,
在Rt△ABE中，∵∠A=30°,
∴AE=2BE.
即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.
三、运用新知，深化理解
1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3
B.1∶2
C.2∶3
D.1∶4
2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.
【答案】1.B 2.等边三角形
四、师生互动，课堂小结
特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
3.通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
4.本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【教学难点】
巧妙运用性质解题.
一、情境导入，初步认识
用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.
老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.
（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠BAC=60°,
∴∠B=30°.
∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=30°.
∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.
∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.
∵CM=AM=7.5cm.
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.
【教学说明】
在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.
例2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.
解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°.
又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.
∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD=30°.
∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,
∴CM=CD=2.
又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,
∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.
∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,
∠A=60°,
∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8.
【教学说明】
直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.
【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.
例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.
解：延长AD、BC交于点E,
在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,
又∵∠CDE=180°-120°=60°,
∴∠DCE=60°.
∴△CED是等边三角形.
设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,
在Rt△ABE中，∵∠A=30°,
∴AE=2BE.
即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.
三、运用新知，深化理解
1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3
B.1∶2
C.2∶3
D.1∶4
2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.
【答案】1.B 2.等边三角形
四、师生互动，课堂小结
特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.