【高效备课】人教版八(上) 第12章 全等三角形 章末复习 教案
文档属性
| 名称 | 【高效备课】人教版八(上) 第12章 全等三角形 章末复习 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 368.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-13 15:09:01 | ||
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文档简介
章末复习
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.
2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.
3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.
4.通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.
5.通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.
【教学重点】
全等三角形的性质和条件的综合应用.
【教学难点】
全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.
二、释疑解惑，加深理解
教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.
1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.
例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.
【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.
【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边\,对应角.
2.对“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.
例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗 为什么
【常见错解】∵AC=BD,∴OA=OD,OB=OC.又∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.
【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.
3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.
例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.
【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.
【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD看成△ABC和△ADE的内角.
三、典例精析，复习新知
1.证明两线段相等
例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.
【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.
【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.
2.证明两角相等.
例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB
【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△DCN，所以BN=CN，∠ABN=∠DCN.下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.
【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,CN,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.
3.证明两线互相垂直
例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.
【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.
【证明】
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF
在△AGE和△AGF中
AE=AF,
∠EAG=∠FAG,
AG=AG.
∴△AGE≌△AGF(SAS),
∴∠AGE=∠AGF.
∵∠AGE+∠AGF=180°,
∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.
4.证明两线平行
例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.
【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.
【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,
∠END=∠CMD=90°,
∠NDE=∠MDC(对顶角相等),
DE=CD.
∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.
在Rt△FEN和Rt△ACM中,
EF=AC,
EN=CM.
∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.
5.构造全等三角形
例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.
【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.
【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边\,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.
【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识.
1.布置作业：从教材“复习题12”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重点突出：
1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.
2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.
2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.
3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.
4.通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.
5.通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.
【教学重点】
全等三角形的性质和条件的综合应用.
【教学难点】
全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.
二、释疑解惑，加深理解
教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.
1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.
例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.
【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.
【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边\,对应角.
2.对“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.
例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗 为什么
【常见错解】∵AC=BD,∴OA=OD,OB=OC.又∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.
【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.
3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.
例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.
【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.
【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD看成△ABC和△ADE的内角.
三、典例精析，复习新知
1.证明两线段相等
例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.
【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.
【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.
2.证明两角相等.
例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB
【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△DCN，所以BN=CN，∠ABN=∠DCN.下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.
【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,CN,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.
3.证明两线互相垂直
例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.
【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.
【证明】
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF
在△AGE和△AGF中
AE=AF,
∠EAG=∠FAG,
AG=AG.
∴△AGE≌△AGF(SAS),
∴∠AGE=∠AGF.
∵∠AGE+∠AGF=180°,
∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.
4.证明两线平行
例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.
【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.
【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,
∠END=∠CMD=90°,
∠NDE=∠MDC(对顶角相等),
DE=CD.
∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.
在Rt△FEN和Rt△ACM中,
EF=AC,
EN=CM.
∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.
5.构造全等三角形
例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.
【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.
【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边\,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.
【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识.
1.布置作业：从教材“复习题12”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重点突出：
1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.
2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.