2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和 习题课（含解析）

第4章　4.2.2　第2课时等差数列前n项和习题课
A　组·基础自测
一、选择题
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15　　　　　　　 B．16
C．49 D．64
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
3．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是( )
A．a6 B．a8
C．a9 D．a10
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋2，则数列的前10项和是( )
A． B．
C． D．
5．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( )
A．11 B．99
C．120 D．121
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为( )
A．61 B．62
C．65 D．67
二、填空题
7．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝　.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为___.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝__.
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1.
(1)写出数列的前5项；
(2)数列{an}是等差数列吗？说明理由；
(3)写出{an}的通项公式．
11．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
B　组·素养提升
一、选择题
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3＝( )
A．17　　 B．29　　
C．23　　 D．35
2．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于( )
A．－2　　　 B．0　　　
C．1　　　 D．2
3．在各项不全为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 005，则正整数k的值为( )
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
二、填空题
4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为　.
5．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝___.
三、解答题
6．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
C　组·探索创新
　已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且nSn＋1＝Sn，则数列的前n项和Tn＝　 .
第4章　4.2.2　第2课时等差数列前n项和习题课
A　组·基础自测
一、选择题
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( A )
A．15　　　　　　　 B．16
C．49 D．64
[解析]　a8＝S8－S7＝82－72＝15.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( C )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9，
∵n<13，∴n＝9.
3．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是( B )
A．a6 B．a8
C．a9 D．a10
[解析]　据题意S11＝55＝11a6，∴a6＝5.
又a1＝－5，∴公差d＝＝2.
设抽出的一项为an，则an＝55－46＝9.
由9＝－5＋(n－1)·2，得n＝8.
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋2，则数列的前10项和是( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由an＝＋2得Sn＝nan－2n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－an－1－4，
整理得an－an－1＝4，
所以{an}是公差为4的等差数列，又因为a1＝1，
所以an＝4n－3，从而Sn＋3n＝＋3n＝2n2＋2n＝2n，
所以＝＝，
所以数列的前10项和为×＝×＝.
故选C．
5．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( C )
A．11 B．99
C．120 D．121
[解析]　因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
令－1＝10，解得n＝120.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为( D )
A．61 B．62
C．65 D．67
[解析]　对n分情况讨论当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋…＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.
二、填空题
7．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝ 　.
[解析]　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然a1＝3不符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为_60__.
[解析]　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，两式相减可得an＝2n－6，n≥2.当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第二项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝_10__.
[解析]　根据等差数列的性质，可得am－1＋am＋1＝2am.
又am－1＋am＋1－a＝0，则2am＝a，
解得am＝0(舍去)或am＝2.
则S2m－1＝＝(2m－1)am，∴4m－2＝38，
所以m＝10.
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1.
(1)写出数列的前5项；
(2)数列{an}是等差数列吗？说明理由；
(3)写出{an}的通项公式．
[解析]　(1)∵Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝3，a2＝S2－S1＝7－3＝4，a3＝S3－S2＝13－7＝6，a4＝S4－S3＝21－13＝8，a5＝S5－S4＝31－21＝10.
(2)由(1)可知，a2－a1＝4－3＝1，a3－a2＝6－4＝2，
∴a3－a2≠a2－a1，∴数列{an}不是等差数列．
(3)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]
＝2n(n≥2)，a1＝S1＝3，
∴数列{an}的通项公式为an＝
11．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析]　(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
从而数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3＝( B )
A．17　　 B．29　　
C．23　　 D．35
[解析]　依题意{an}为等差数列，且d＝－3，S9＝＝9a5＝207，∴a5＝23，∴a3＝a5－2d＝29.故选B.
2．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于( A )
A．－2　　　 B．0　　　
C．1　　　 D．2
[解析]　∵an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，
∴an＋1＋an－1＝a.
∵{an}为等差数列，
∴an＋1＋an－1＝2an＝a.
∴an＝2或an＝0(舍)．
∴S2n－1－4n＝2×(2n－1)－4n＝－2.
3．在各项不全为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 005，则正整数k的值为( D )
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
[解析]　Sn＝n2＋n，所以Sn可看成关于n的二次函数，由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 005，可得＝，解得k＝2 020.故选D.
二、填空题
4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为 　.
[解析]　∵an＋1＝an＋n＋1，∴an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴＝.
∵－＝－＝，
则数列为等差数列．
因此，数列的前n项和为＝.
5．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝_211__.
[解析]　∵数列{an}中，当整数n>1时，
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，
Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2 an＋1－an＝2(n>1)．
∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211.
三、解答题
6．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
[解析]　(1)∵a1＝1，S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝－，
∴整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝a1×××…××
＝1×××…××＝，
显然对于n＝1也成立，
∴{an}的通项公式an＝.
(2)证明：＝＝2，
∴＋＋…＋＝2＋＋…＋＝2<2.
C　组·探索创新
　已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且nSn＋1＝Sn，则数列的前n项和Tn＝ －　.
[解析]　因为nSn＋1＝Sn，
所以＝，则＝，
则Sn＝×××…××S1，
＝×××…×××1＝，
当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
综上an＝n，
所以＝－，
所以数列的前n项和为
Tn＝－＋－＋…＋－＝－.