2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.3.1 第1课时 等比数列的概念（含解析）

第4章　4.3.1　第1课时等比数列的概念
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a2 012＝4，a2 024＝16，则a2 018＝( )
A．4 B．±4
C．8 D．±8
2．数列m，m，m，…一定( )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
3在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4
C．± D．
4．设{an}为等比数列，给出下列四个数列：①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}．
其中一定为等比数列的是( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝___.
7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是 　.
8．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝___.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
B　组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1 2
0.5 1
a
b
c
A．1　　　 B．2
C．3　　　 D．
2．(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为( )
A． B．1
C．2 D．3
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
二、填空题
4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是　.
5．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为　(用a，b表示)．
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
C　组·探索创新
长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为　 .(指数幂形式)
第4章　4.3.1　第1课时等比数列的概念
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a2 012＝4，a2 024＝16，则a2 018＝( C )
A．4 B．±4
C．8 D．±8
[解析]　∵数列{an}为等比数列，且a2 012＝4，a2 024＝16，
∴a2 018是a2 012，a2 024的等比中项，且是同号的，
∴a2 018＝＝＝8.故选C．
2．数列m，m，m，…一定( C )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[解析]　当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．
3在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( B )
A．±4 B．4
C．± D．
[解析]　由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
设G为a4与a8的等比中项，则G2＝a4·a8＝16，故G＝±4，在数列{an}中a4与a8的等比中项为a6且a6>0，故选B.
4．设{an}为等比数列，给出下列四个数列：①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}．
其中一定为等比数列的是( D )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
[解析]　设an＝a1qn－1，
①2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是等比数列；
②a＝aq2n－2＝a(q2)n－1，所以数列{a}是等比数列；
③＝2an－an－1，因为an－an－1不是一个常数，所以数列{2an}不是等比数列；
④＝不是一个常数，
所以数列{log2|an|}不是等比数列．故选D.
5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
[解析]　依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝_5_832__.
[解析]　设公比为q，则q＝＝3，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10a1＝20，
∴a1＝2.∴a7＋a8＝a1(q6＋q7)＝2(36＋37)＝5 832.
7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是 －　.
[解析]　∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×7＝－.
8．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝_3__.
[解析]　因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列，
所以
解得q＝3.所以{an}的公比q＝3.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析]　(1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B　组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D )
1 2
0.5 1
a
b
c
A．1　　　 B．2
C．3　　　 D．
[解析]　按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1 2 3 4
0.5 1 1.5 2
0.25 0.5 0.75 1
0.125 0.25 0.375 0.5
0.062 5 0.125 0.187 5 0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D.
2．(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为( AC )
A． B．1
C．2 D．3
[解析]　因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，即10＝4，所以q＋＝，解得q＝2或q＝.
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
[解析]　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
二、填空题
4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是 　.
[解析]　由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
5．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为 　(用a，b表示)．
[解析]　设这个公比为q，则
b＝aq3，q3＝(a≠0，b≠0)，
所以q＝＝.
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
C　组·探索创新
长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为 5　.(指数幂形式)
[解析]　根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP＝1，则矩形HPLJ中，LP＝HJ＝＝，则在矩形HJIF中，HF＝＝2，
同理：FC＝3，DC＝4，
则BC＝5.