2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（含解析）

第4章　4.3.1　第2课时等比数列的性质及应用
A　组·基础自测
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1a2a3＝－8，a5＝16，则公比为( )
A．－2　　　　　　　　 B．2
C．－4 D．4
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝( )
A．3 B．2
C．1 D．－2
4．(多选题)已知数列{an}是等比数列，那么下列结论一定正确的是( )
A．{a}为等比数列
B．{lg an}为等差数列
C．为等差数列
D．{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列
5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220
C．216 D．215
二、填空题
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为___.
7．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比q＝ 　.
8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝___.
三、解答题
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
2．两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其前n项的乘积分别为An，Bn.若＝2，则＝( )
A．512 B．32
C．8 D．2
3．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是( )
A．2 B．4
C． D．
二、填空题
4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝___.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为___.
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________.
给出下列三个条件：
条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；
条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；
条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
C　组·探索创新
(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，且满足a1>1，a2 020·a2 021>1，<0，则下列结论中错误的是( )
A．q<0　　　　
B．a2 021·a2 022－1>0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．S2 020>S2 021
第4章　4.3.1　第2课时等比数列的性质及应用
A　组·基础自测
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1a2a3＝－8，a5＝16，则公比为( A )
A．－2　　　　　　　　 B．2
C．－4 D．4
[解析]　a1a2a3＝－8，a＝－8，a2＝－2，a5＝16，公比为－2.
2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( B )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
[解析]　设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.
则＝＝q2，故数列{bn}是公比为q2的等比数列．
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝( B )
A．3 B．2
C．1 D．－2
[解析]　曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(1,2)，则b＝1，c＝2.由a，b，c，d成等比数列，知ad＝bc＝1×2＝2，故选B.
4．(多选题)已知数列{an}是等比数列，那么下列结论一定正确的是( AD )
A．{a}为等比数列
B．{lg an}为等差数列
C．为等差数列
D．{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则＝2＝q2，
∴{a}是等比数列；
lg an＋1－lg an＝lg＝lg q，当q<0时，lg q无意义，故B错误；
－＝－＝an≠常数，故C错误；
由等比数列的定义知{an＋an＋1＋an＋2}是等比数列．
故选AD.
5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B )
A．210 B．220
C．216 D．215
[解析]　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
二、填空题
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为_3__.
[解析]　由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3.
7．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比q＝ ±　.
[解析]　由题知a＝a1a13，
即(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，
∴a＋6a1d＋9d2＝a＋12a1d，
∴a1＝d，
∴a4＝a1＋3d＝d，
∴q2＝＝3，
∴q＝±.
8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝_1__.
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
三、解答题
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析]　设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[解析]　方法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log23，
c＝log212＝2＋log23.
∴b－a＝c－b.
方法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，
∴a＋c＝2b，∴选A．
2．两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其前n项的乘积分别为An，Bn.若＝2，则＝( A )
A．512 B．32
C．8 D．2
[解析]　因为A9＝a1a2a3…a9＝a，B9＝b1b2b3…b9＝b，所以＝9＝512.
3．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是( ABD )
A．2 B．4
C． D．
[解析]　依题意，数列{an}是正项等比数列，所以a3>0，a7>0，a5>0，
所以＝＋≥2＝，
因为a5>0，所以上式可化为a5≥2，
当且仅当a3＝，a7＝时等号成立．
二、填空题
4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝_4__.
[解析]　∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为_4__.
[解析]　∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
三、解答题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________.
给出下列三个条件：
条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；
条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；
条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　方案一：选择条件①.
(1)因为数列{Sn＋a1}为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．
设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝－
＝－.
方案二：选择条件②.
(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上，
所以an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝an，＝2(n≥2)．
因为a1＝1，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2，所以＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
方案三：选择条件③.
(1)当n≥2时，因为2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1(n∈N*)(ⅰ)，
所以2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an，
所以2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an(ⅱ)，
(ⅰ)－(ⅱ)得2an＝nan＋1－2(n－1)an，即＝2(n≥2)，
当n＝1时，2a1＝a2，＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
C　组·探索创新
(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，且满足a1>1，a2 020·a2 021>1，<0，则下列结论中错误的是( ABD )
A．q<0　　　　
B．a2 021·a2 022－1>0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．S2 020>S2 021
[解析]　①若q<0，则a2 020＝a1q2 019<0，a2 021＝a1q2 020>0，此时a2 020·a2 021<0，不合题意；
②若q≥1，对任意的n∈N＋，an＝a1qn－1>0，且有＝q≥1，可得an＋1≥an，
可得a2 021≥a2 020≥a1>1，此时>0，与题干不符，不合题意；
③由上可知00，且有＝q<1，可得an＋1此时，数列{an}为单调递减数列，则a2 020>a2 021，由<0可得0对于A选项，由上可知，A选项错误；对于B选项，由于数列{an}为正项递减数列，所以0对于C选项，由上可知，正项数列{an}前2 020项都大于1，而从第2 021项起都小于1，所以T2 020是数列{Tn}中的最大值，C选项正确；
对于D选项，S2 021－S2 020＝a2 021>0，
∴S2 020