2023-2024学年人教A版数学选择性必修第二册同步练习 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法（含解析）

第四章　4.1　第1课时数列的概念与简单表示法
A　组·基础自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
2．已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( )
A．70 B．28
C．20 D．16
3．2n是数列1,2,4，…，2n，…的第_____项( )
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n＋2
4．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第_____项( )
A．9 B．10
C．31 D．32
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
二、填空题
7．观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项等于___.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第___项．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2,6,12,20,30，….
B　组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为( )
A．212 B．200
C．186 D．162
3．(多选题)已知n∈N*，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
二、填空题
4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为___.
5．已知数列{an}，an＝cos nθ，0<θ<，a5＝，则a10＝ 　.
三、解答题
6．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？
第四章　4.1　第1课时数列的概念与简单表示法
A　组·基础自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( A )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[解析]　数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
2．已知数列{an}的通项公式an＝则a2a3的值是( D )
A．70 B．28
C．20 D．16
[解析]　a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.
3．2n是数列1,2,4，…，2n，…的第_____项( B )
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n＋2
[解析]　数列第1项为20，第2项为21，则2n为n＋1项．
4．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第_____项( D )
A．9 B．10
C．31 D．32
[解析]　观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由小到大排列．
分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，…，和为n的有n－1项．
的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项，
又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋4＝32，所以是数列中的第32项．
故选D.
5．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析]　an＝＝2－单调递增．故选A．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析]　an＝－22＋，因为n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．
二、填空题
7．观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项等于_ln_11__.
[解析]　由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由11＝3×3＋2，所以该数列的第11项为ln 11.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第_6__项．
[解析]　an＝＝，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析]　(1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝，…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，
∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}满足an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析]　∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.
B　组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[解析]　据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为( B )
A．212 B．200
C．186 D．162
[解析]　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
3．(多选题)已知n∈N*，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ABC )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[解析]　A中，an＝当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件；
B中，an＝，满足条件；
C中，an＝，满足条件；
D中，an＝，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC．
二、填空题
4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为_(－2,1)__.
[解析]　∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，
∴解得－2∴a的取值范围为(－2,1)．
5．已知数列{an}，an＝cos nθ，0<θ<，a5＝，则a10＝ －　.
[解析]　a5＝cos 5θ＝，
又0<θ<，
∴0<5θ<π，
∴5θ＝，
∴a10＝cos 10θ＝cosπ＝－.
三、解答题
6．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？
[解析]　(1)a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0(3)∵<<，∴又n∈N*，
∴n＝1，即在区间内有且只有一项a1.
C　组·探索创新
　一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，并画出该数列的图象．
[解析]　将A、B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：
站号 1 2 3 4 5 6 7 8
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0
该数列的图象如图所示．
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．